1. Kerjaya Awal
1.1. Zaman Sekolah Menengah dan Kolej
Minter bersekolah di Brook Hill School di Bullard, Texas. Beliau telah dipilih oleh Detroit Tigers dalam pusingan ke-38 Draf Major League Baseball 2012. Walau bagaimanapun, beliau tidak menandatangani kontrak dan memilih untuk melanjutkan pelajaran di Texas A&M University, di mana beliau bermain besbol kolej. Selepas musim 2014, beliau bermain besbol musim panas kolej bersama Cotuit Kettleers dari Cape Cod Baseball League.
Pada dua tahun pertamanya di kolej, Minter beraksi sebagai pelempar dari bullpen. Beliau kemudiannya bertukar peranan menjadi pelempar permulaan pada tahun juniornya. Namun, pada awal musim juniornya, beliau mengalami kecederaan yang memerlukan pembedahan Tommy John, sekali gus menamatkan musimnya.
1.2. Permulaan Kerjaya Profesional
Atlanta Braves memilih Minter dalam pusingan kedua Draf MLB 2015. Beliau membuat penampilan sulung profesionalnya pada tahun 2016 untuk Rome Braves. Beliau kemudiannya menghabiskan dua tempoh bersama Carolina Mudcats sebelum dinaikkan pangkat ke Mississippi Braves pada bulan Julai, di mana beliau menamatkan musim tersebut. Minter menamatkan musim 2016 dengan purata larian wajar (ERA) 1.30 dalam 34 2/3 inning.
Pada tahun 2017, Minter memulakan musim bersama Florida Fire Frogs dan kemudiannya ditugaskan semula ke Rome, Mississippi Braves, dan Gwinnett Braves sepanjang musim.
2. Era Atlanta Braves
2.1. Debut MLB dan Musim Awal (2017-2018)
Minter dipanggil ke liga utama buat kali pertama pada 23 Ogos 2017. Beliau membuat penampilan sulung liga utamanya pada malam yang sama, dalam inning kelapan perlawanan menentang Seattle Mariners. Minter menghabiskan sisa musim 2017 bersama Atlanta, mencatatkan rekod 0-1 dengan ERA 3.00 dalam 15 inning, di mana beliau melakukan 26 strikeout.
Pada tahun 2018, Minter beraksi dalam 65 perlawanan, membaling 61 1/3 inning, dengan 15 save, mencatatkan ERA 3.23 dan 69 strikeout.
2.2. Kecederaan, Perubahan Peranan, dan Pasca-Musim 2020
Awal musim 2019 Minter tertunda berikutan insiden kemalangan kenderaan pada bulan Mac. Beliau menggantikan rakan pelempar Arodys Vizcaíno sebagai closer disebabkan kecederaan, tetapi kehilangan peranan tersebut kepada rakan sepasukan Luke Jackson pada akhir April. Minter telah dihantar ke Gwinnett Braves pada 10 Mei. Beliau kembali ke Atlanta pada bulan Jun, kemudian dihantar ke Gwinnett buat kali kedua pada bulan Ogos apabila Braves melakukan pertukaran untuk mendapatkan Shane Greene, Chris Martin, dan Mark Melancon. Minter menamatkan musim sebagai pemain panggilan September apabila senarai pemain diperluaskan, tetapi tidak lama selepas itu beliau diletakkan dalam senarai cedera 60 hari. Untuk musim 2019 bersama Braves, beliau mencatatkan rekod 3-4 dengan lima save dan ERA 7.06 dalam 36 penampilan relief, di mana beliau melakukan 35 strikeout dalam 29 1/3 inning.
Minter memulakan musim 2020 di latihan musim bunga bersama pasukan liga utama, dan dihantar ke Gwinnett pada bulan Mac. Dalam Perlawanan 5 NLCS 2020, Minter mencipta sejarah dengan menjadi pemain MLB pertama yang membuat penampilan sulung sebagai pelempar permulaan dalam postseason. Beliau membaling tiga inning, hanya membenarkan satu pukulan dan melakukan tujuh strikeout, yang juga merupakan satu rekod. Pada tahun 2020, Minter mencatatkan rekod 1-1 dengan ERA 0.83, dan 24 strikeout dalam 21 2/3 inning sepanjang 22 penampilan relief.
2.3. Kemenangan Siri Dunia dan Musim Utama (2021-2022)
Pada 18 Julai 2021, Minter telah dihantar ke Triple-A Gwinnett Stripers selepas kekalahan 7-5 Braves kepada Tampa Bay Rays. Pada tahun 2021 bersama Atlanta, beliau mencatatkan rekod 3-6 dengan ERA 3.78 dan 57 strikeout dalam 61 perlawanan. Braves menamatkan musim dengan rekod 88-73, memenangi NL East, dan akhirnya memenangi Siri Dunia 2021, memberikan Braves gelaran pertama mereka sejak 1995. Dalam 75 perlawanan untuk Atlanta pada tahun 2022, Minter mencatatkan ERA 2.06 dengan 94 strikeout sepanjang 70 inning yang dibaling, iaitu rekod tertinggi dalam kerjayanya.
2.4. Kontrak dan Musim 2023-2024
Pada 13 Januari 2023, Minter menandatangani kontrak setahun bernilai 4.20 M USD dengan Braves, sekali gus mengelakkan timbang tara gaji. Beliau membuat 70 penampilan untuk pasukan pada tahun 2023, mencatatkan ERA 3.76 dengan 82 strikeout sepanjang 642/3 inning yang dibaling.
Pada 11 Januari 2024, Minter sekali lagi mengelakkan proses timbang tara gaji, bersetuju dengan perjanjian setahun bernilai 6.20 M USD. Beliau diletakkan dalam senarai cedera pada akhir Mei, dan mendedahkan bahawa beliau mengalami masalah impingement pinggul kiri pada bulan berikutnya. Walaupun beliau diaktifkan semula pada awal Julai, Minter kembali ke senarai cedera pada pertengahan Ogos dengan masalah yang sama, dan merancang untuk menjalani pembedahan. Beliau dipindahkan ke senarai cedera 60 hari pada 20 Ogos, secara efektif menamatkan musimnya. Secara keseluruhan, Minter menamatkan musim 2024 dengan rekod 5-4 dan ERA 2.62 dengan 35 strikeout sepanjang 39 perlawanan. Beliau menjadi ejen bebas selepas musim tersebut.
3. Era New York Mets
Pada 17 Januari 2025, Minter menandatangani kontrak dua tahun bernilai 22.00 M USD dengan New York Mets, termasuk pilihan keluar selepas musim 2025.