1. Early Life and Education
Eugenio Calabi dilahirkan di Milan, Itali, ke dalam sebuah keluarga Yahudi, dan perjalanan hidup serta akademiknya dibentuk oleh peristiwa-peristiwa penting pada abad ke-20.
1.1. Birth and Family
Eugenio Calabi dilahirkan di Milan, Itali, pada 11 Mei 1923. Beliau berasal dari keluarga Yahudi dan mempunyai seorang kakak bernama Tullia Zevi, yang kemudiannya menjadi seorang wartawan terkenal.
1.2. Emigration due to Racial Laws
Pada tahun 1938, keluarga Calabi terpaksa meninggalkan Itali akibat penguatkuasaan undang-undang perkauman Itali yang menindas. Mereka berhijrah ke Amerika Syarikat dan tiba di sana pada tahun 1939, mencari perlindungan daripada diskriminasi dan penganiayaan.
1.3. Education
Pada musim gugur 1939, pada usia 16 tahun, Calabi mendaftar di Institut Teknologi Massachusetts (MIT) untuk mempelajari kejuruteraan kimia. Pengajiannya terganggu apabila beliau dikerah menyertai tentera Amerika Syarikat pada tahun 1943 dan berkhidmat semasa Perang Dunia Kedua. Selepas diberhentikan pada tahun 1946, Calabi dapat menamatkan ijazah sarjana mudanya melalui G.I. Bill dan diiktiraf sebagai Putnam Fellow. Beliau kemudian memperoleh ijazah sarjana dalam matematik dari Universiti Illinois Urbana-Champaign pada tahun 1947. Pada tahun 1950, beliau menerima PhD dalam matematik dari Universiti Princeton. Disertasi kedoktorannya, yang bertajuk "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds", diselia oleh Salomon Bochner.
2. Academic Career
Kerjaya akademik Eugenio Calabi merangkumi beberapa jawatan pengajaran dan afiliasi penting di universiti-universiti terkemuka di Amerika Syarikat, di mana beliau membuat sumbangan besar kepada bidang matematik.
2.1. Professorships and Affiliations
Dari tahun 1951 hingga 1955, Calabi berkhidmat sebagai penolong profesor di Universiti Negeri Louisiana. Beliau kemudian berpindah ke Universiti Minnesota pada tahun 1955, di mana beliau dinaikkan pangkat menjadi profesor penuh pada tahun 1960. Pada tahun 1964, Calabi menyertai fakulti matematik di Universiti Pennsylvania. Berikutan persaraan Hans Rademacher, beliau dilantik ke jawatan Profesor Matematik Thomas A. Scott di Universiti Pennsylvania pada tahun 1968. Pada tahun 1994, Calabi mengambil status profesor emeritus, dan pada tahun 2014, universiti tersebut menganugerahkan beliau doktor kehormat sains.
3. Awards and Recognition
Eugenio Calabi menerima pelbagai penghormatan dan anugerah sepanjang kerjayanya, mengiktiraf sumbangan cemerlang beliau kepada bidang matematik.
3.1. Major Awards
Pada tahun 1982, Calabi telah dipilih sebagai ahli Akademi Sains Kebangsaan. Beliau dianugerahkan Hadiah Leroy P. Steele oleh Persatuan Matematik Amerika pada tahun 1991. Anugerah ini diberikan atas "karya asasnya dalam geometri pembezaan global, terutamanya geometri pembezaan kompleks," yang disebut telah "mengubah landskap bidang itu secara mendalam."
3.2. Honors and Memberships
Selain anugerah utama, Calabi juga menerima beberapa penghormatan dan keahlian lain. Beliau merupakan seorang Putnam Fellow semasa di peringkat sarjana muda. Pada tahun 2012, beliau menjadi felo Persatuan Matematik Amerika. Pada tahun 2021, beliau dianugerahkan pangkat Komander dalam Order of Merit of the Italian Republic.
4. Mathematical Contributions
Eugenio Calabi membuat beberapa sumbangan penting dalam bidang geometri pembezaan, analisis geometri, dan persamaan pembezaan separa. Beliau sangat berbangga dengan artikelnya "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens".
4.1. Kähler Geometry
Pada Kongres Antarabangsa Ahli Matematik tahun 1954, Calabi mengumumkan sebuah teorem mengenai bagaimana kelengkungan Ricci bagi metrik Kähler boleh ditentukan. Walau bagaimanapun, beliau kemudian mendapati bukti awalnya melalui kaedah kesinambungan adalah cacat, dan hasil ini kemudiannya dikenali sebagai Konjektur Calabi. Pada tahun 1957, Calabi menerbitkan sebuah kertas kerja di mana konjektur tersebut dinyatakan sebagai proposisi, tetapi dengan bukti yang tidak lengkap secara terbuka. Beliau memberikan bukti lengkap bahawa sebarang penyelesaian masalah itu mesti ditakrifkan secara unik, tetapi hanya dapat mengurangkan masalah kewujudan kepada masalah untuk menetapkan anggaran a priori bagi persamaan pembezaan separa tertentu.
Pada tahun 1970-an, Shing-Tung Yau mula mengkaji Konjektur Calabi, pada mulanya cuba untuk menyangkalnya. Selepas beberapa tahun bekerja, beliau menemui bukti konjektur tersebut dan dapat menetapkan beberapa akibat geometri algebra yang menakjubkan dari kesahihannya. Sebagai kes khusus konjektur ini, metrik Kähler dengan kelengkungan Ricci sifar ditetapkan pada beberapa manifold kompleks; ini kini dikenali sebagai metrik Calabi-Yau. Metrik-metrik ini telah menjadi penting dalam penyelidikan teori rentetan sejak tahun 1980-an.
Pada tahun 1982, Calabi memperkenalkan aliran geometri, yang kini dikenali sebagai Aliran Calabi, sebagai cadangan untuk mencari metrik Kähler bagi kelengkungan skalar yang malar. Secara lebih luas, Calabi memperkenalkan konsep metrik Kähler ekstremal dan menetapkan (antara hasil lain) bahawa metrik-metrik ini memberikan minima global yang ketat bagi fungsian Calabi dan bahawa sebarang metrik kelengkungan skalar malar juga merupakan minima global. Kemudian, Calabi dan Xiuxiong Chen membuat kajian meluas mengenai metrik yang diperkenalkan oleh Toshiki Mabuchi, dan menunjukkan bahawa aliran Calabi mengecutkan jarak Mabuchi antara mana-mana dua metrik Kähler. Tambahan pula, mereka menunjukkan bahawa metrik Mabuchi melengkapkan ruang metrik Kähler dengan struktur ruang Alexandrov bagi kelengkungan bukan positif. Kesukaran teknikal dalam kerja mereka ialah geodesik dalam konteks dimensi tak terhingga mungkin mempunyai kebolehbezaan yang rendah.
Satu binaan Calabi yang terkenal ialah meletakkan metrik Kähler lengkap pada ruang total berkas vektor hermitian yang kelengkungannya dibatasi di bawah. Dalam kes di mana tapaknya adalah manifold Kähler-Einstein lengkap dan berkas vektor mempunyai pangkat satu dan kelengkungan malar, seseorang akan memperoleh metrik Kähler-Einstein lengkap pada ruang total. Dalam kes berkas kotangen bagi bentuk ruang kompleks, seseorang akan memperoleh manifold Hyperkähler. Ruang Eguchi-Hanson adalah kes khas binaan Calabi.
4.2. Geometric Analysis
Calabi menemui teorem perbandingan Laplacian dalam geometri Riemannian, yang mengaitkan pengendali Laplace-Beltrami, seperti yang digunakan pada fungsi jarak Riemannian, dengan kelengkungan Ricci. Fungsi jarak Riemannian secara amnya tidak dapat dibezakan di mana-mana, yang menimbulkan kesukaran dalam merumuskan versi global teorem tersebut. Calabi menggunakan konsep ketaksamaan pembezaan yang digeneralisasikan, mendahului penyelesaian kelikatan yang kemudian diperkenalkan oleh Michael G. Crandall dan Pierre-Louis Lions. Dengan melanjutkan prinsip maksimum kuat Eberhard Hopf kepada konsep penyelesaian kelikatannya, Calabi dapat menggunakan teorem perbandingan Laplaciannya untuk melanjutkan hasil-hasil terkini Joseph Keller dan Robert Osserman kepada konteks Riemannian. Lanjutan lanjut, berdasarkan penggunaan prinsip maksimum yang berbeza, kemudian ditemui oleh Shiu-Yuen Cheng dan Shing-Tung Yau, antara lain.
Selari dengan masalah Bernstein klasik untuk permukaan minimal, Calabi mempertimbangkan masalah analog untuk permukaan maksimal, menyelesaikan persoalan itu dalam dimensi rendah. Jawapan tanpa syarat ditemui kemudian oleh Cheng dan Yau, menggunakan helah Calabi yang telah dipelopori oleh Calabi untuk mengatasi ketidakbolehbezaan fungsi jarak Riemannian. Dalam kerja analog, Calabi sebelum ini telah mempertimbangkan penyelesaian cembung persamaan Monge-Ampère yang ditakrifkan pada seluruh ruang Euclidean dan dengan 'sisi kanan' sama dengan satu. Konrad Jörgens sebelum ini telah mengkaji masalah ini untuk fungsi dua pemboleh ubah, membuktikan bahawa sebarang penyelesaian adalah polinomial kuadratik. Dengan menafsirkan masalah itu sebagai salah satu geometri afin, Calabi dapat mengaplikasikan kerja awalnya mengenai teorem perbandingan Laplacian untuk melanjutkan kerja Jörgens kepada beberapa dimensi yang lebih tinggi. Masalah itu diselesaikan sepenuhnya kemudian oleh Aleksei Pogorelov, dan hasilnya biasanya dikenali sebagai Teorem Jörgens-Calabi-Pogorelov.
Kemudian, Calabi mempertimbangkan masalah hipersfera afin, mula-mula mencirikan permukaan sedemikian sebagai permukaan di mana transformasi Legendre menyelesaikan persamaan Monge-Ampère tertentu. Dengan menyesuaikan kaedah awalnya dalam melanjutkan teorem Jörgens, Calabi dapat mengklasifikasikan hipersfera elips afin lengkap. Hasil lanjut kemudiannya diperoleh oleh Cheng dan Yau.
4.3. Differential Geometry
Calabi dan Beno Eckmann menemui manifold Calabi-Eckmann pada tahun 1953. Manifold ini terkenal sebagai manifold kompleks yang berhubung ringkas yang tidak mengakui sebarang metrik Kähler.
Diinspirasikan oleh karya terkini Kunihiko Kodaira, Calabi dan Edoardo Vesentini mempertimbangkan kekakuan infinitesimal bagi hasil bahagi holomorfik padat bagi domain Cartan pada tahun 1960. Dengan menggunakan formula Bochner dan perkembangan kohomologi berkas Kodaira, mereka membuktikan kekakuan kes-kes dimensi yang lebih tinggi. Kerja mereka mempengaruhi kerja kemudian George Mostow dan Grigori Margulis, yang menetapkan hasil kekakuan global mereka daripada percubaan untuk memahami hasil kekakuan infinitesimal seperti Calabi dan Vesentini, bersama dengan karya berkaitan oleh Atle Selberg dan André Weil.
Calabi dan Lawrence Markus mempertimbangkan masalah bentuk ruang bagi kelengkungan positif dalam geometri Lorentzian pada tahun 1962. Hasil mereka, yang dianggap "sangat mengejutkan" oleh Joseph A. Wolf, menegaskan bahawa kumpulan asas mesti terhingga, dan kumpulan isometri yang sepadan bagi ruang masa de Sitter (di bawah syarat orientasi) akan bertindak dengan setia melalui isometri pada sfera khatulistiwa. Oleh itu, masalah bentuk ruang mereka mengurangkan kepada masalah bentuk ruang Riemannian bagi kelengkungan positif.
Kerja John Forbes Nash Jr. pada tahun 1950-an mempertimbangkan masalah pembenaman isometrik. Kerja beliau menunjukkan bahawa pembenaman sedemikian adalah sangat fleksibel dan boleh diubah bentuk. Dalam tesis PhDnya pada tahun 1953, Calabi sebelum ini telah mempertimbangkan kes khas pembenaman isometrik holomorfik ke dalam bentuk ruang geometri kompleks. Hasilnya yang menakjubkan menunjukkan bahawa pembenaman sedemikian ditentukan sepenuhnya oleh geometri intrinsik dan kelengkungan bentuk ruang yang dimaksudkan. Selain itu, beliau dapat mengkaji masalah kewujudan melalui pengenalan fungsi diastatiknya, yang merupakan fungsi yang ditakrifkan secara tempatan yang dibina daripada potensi Kähler dan yang meniru fungsi jarak Riemannian. Calabi membuktikan bahawa pembenaman isometrik holomorfik mesti mengekalkan fungsi diastatik. Akibatnya, beliau dapat memperoleh kriteria untuk kewujudan tempatan pembenaman isometrik holomorfik.
Kemudian, Calabi mengkaji permukaan minimal dua dimensi (dengan kodimensi tinggi) dalam sfera bulat pada tahun 1967. Beliau membuktikan bahawa luas permukaan minimal topologi sfera hanya boleh mengambil set nilai diskret, dan bahawa permukaan itu sendiri dikelaskan oleh lengkung rasional dalam ruang simetri hermitian tertentu.
5. Personal Life
Eugenio Calabi mempunyai kehidupan peribadi yang stabil di samping kerjaya akademiknya yang cemerlang.
5.1. Marriage and Family
Calabi berkahwin dengan Giuliana Segre pada tahun 1952. Mereka dikurniakan seorang anak lelaki dan seorang anak perempuan.
6. Death
Eugenio Calabi meninggal dunia pada 25 September 2023, di rumahnya di Bryn Mawr, Pennsylvania, pada usia 100 tahun.
7. Legacy and Impact
Sumbangan matematik Eugenio Calabi, terutamanya Konjektur Calabi dan pengenalan manifold Calabi-Yau, telah meninggalkan warisan yang berkekalan dan mendalam dalam matematik moden dan fizik teori. Konjektur Calabi, yang kemudian dibuktikan oleh Shing-Tung Yau, membuka jalan kepada pemahaman yang lebih mendalam tentang geometri Kähler dan peranan kelengkungan Ricci dalam menentukan struktur metrik. Manifold Calabi-Yau, yang muncul sebagai kes khusus konjektur ini, telah menjadi komponen asas dalam teori rentetan dan teori-M, menyediakan ruang dimensi tambahan yang diperlukan untuk model alam semesta yang konsisten. Karya beliau telah merangsang penyelidikan baharu dalam geometri algebra, analisis geometri, dan fizik matematik, terus mempengaruhi generasi ahli matematik dan ahli fizik.
8. Major Publications
Eugenio Calabi merupakan pengarang kurang daripada lima puluh artikel penyelidikan. Berikut adalah beberapa penerbitan utamanya:
- "Isometric imbedding of complex manifolds." Annals of Mathematics (Siri Kedua) 58 (1953), 1-23.
- "A class of compact, complex manifolds which are not algebraic" (bersama Beno Eckmann). Annals of Mathematics (Siri Kedua) 58 (1953), 494-500.
- "The space of Kähler metrics." Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II (Amsterdam), 206-207. North-Holland Publishing Co., 1954.
- "On Kähler manifolds with vanishing canonical class." Algebraic Geometry and Topology (simposium untuk S. Lefschetz), 78-89. Princeton University Press, 1957.
- "An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry." Duke Mathematical Journal 25 (1958), 45-56.
- "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens." Michigan Mathematical Journal 5 (1958), 105-126.
- "On compact, locally symmetric Kähler manifolds" (bersama Edoardo Vesentini). Annals of Mathematics (Siri Kedua) 71 (1960), 472-507.
- "Relativistic space forms" (bersama L. Markus). Annals of Mathematics (Siri Kedua) 75 (1962), 63-76.
- [https://projecteuclid.org/journals/journal-of-differential-geometry/volume-1/issue-1-2/Minimal-immersions-of-surfaces-in-Euclidean-spheres/10.4310/jdg/1214427884.full "Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres."] Journal of Differential Geometry 1 (1967), 111-125.
- "Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations." Global Analysis (Prosiding Simposium Matematik Tulen, Jilid XV, Berkeley, Calif., 1968), 223-230. American Mathematical Society, 1970.
- "Complete affine hyperspheres. I." Symposia Mathematica X (Convegno di Geometria Differenziale (24-28 Mei 1971); Convegno di Analisi Numerica (10-13 Januari 1972). Istituto Nazionale di Alta Matematica, Rome), 19-38. Academic Press, 1972.
- [http://www.numdam.org/article/ASENS_1979_4_12_2_269_0.pdf "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes."] Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (Siri Keempat) 12 (1979), no. 2, 269-294.
- "Extremal Kähler metrics." Seminar on Differential Geometry, 259-290. Annals of Mathematics Studies, 102. Princeton University Press, 1982.
- "Extremal Kähler Metrics II." Differential Geometry and Complex Analysis, 95-114. Springer, 1985.
- "The space of Kähler metrics. II" (bersama X. X. Chen). Journal of Differential Geometry 61 (2002), 173-193.
- Collected Works (disunting oleh Jean-Pierre Bourguignon, Xiuxiong Chen, dan Simon Donaldson). Springer, 2021.