Gottlob Frege

1.1. Zaman Kanak-kanak dan Latar Belakang

Frege dilahirkan pada tahun 1848 di Wismar. Bapanya, Carl (Karl) Alexander Frege (1809-1866), ialah pengasas bersama dan pengetua sebuah sekolah tinggi perempuan sehingga kematiannya. Selepas kematian Carl, sekolah itu diketuai oleh ibu Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (née Bialloblotzky, 12 Januari 1815 - 14 Oktober 1898). Ibu ibunya, Auguste Amalia Maria Ballhorn, adalah keturunan Philipp Melanchthon, dan bapanya, Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, adalah keturunan keluarga bangsawan Poland yang meninggalkan Poland pada abad ke-17. Frege ialah seorang Lutheran.

Semasa kecil, Frege terdedah kepada falsafah yang akan membimbing kerjaya saintifiknya pada masa hadapan. Sebagai contoh, bapanya menulis buku teks mengenai bahasa Jerman untuk kanak-kanak berumur 9-13 tahun, bertajuk Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (edisi ke-2, Wismar 1850; edisi ke-3, Wismar dan Ludwigslust: Hinstorff, 1862), yang bahagian pertamanya membincangkan struktur dan logik bahasa.

Frege belajar di Große Stadtschule Wismar dan lulus pada tahun 1869. Guru matematik dan sains semula jadi beliau, Gustav Adolf Leo Sachse (1843-1909), yang juga seorang penyair, memainkan peranan penting dalam menentukan kerjaya saintifik masa depan Frege, menggalakkannya untuk meneruskan pengajian di Universiti Jena.

1.2. Pendidikan

Frege mendaftar di Universiti Jena pada musim bunga 1869 sebagai warganegara Konfederasi Jerman Utara. Dalam empat semester pengajiannya, beliau menghadiri kira-kira dua puluh kursus kuliah, kebanyakannya mengenai matematik dan fizik. Guru terpentingnya ialah Ernst Karl Abbe (1840-1905), seorang ahli fizik, ahli matematik, dan pencipta. Abbe memberikan kuliah mengenai teori graviti, galvanisme dan elektrodinamik, analisis kompleks teori fungsi pembolehubah kompleks, aplikasi fizik, bahagian terpilih mekanik, dan mekanik pepejal. Abbe lebih daripada seorang guru kepada Frege: beliau adalah seorang kawan yang dipercayai, dan, sebagai pengarah pengeluar optik Carl Zeiss AG, beliau berada dalam kedudukan untuk memajukan kerjaya Frege. Selepas tamat pengajian Frege, mereka berhubung rapat.

Guru universiti lain yang terkenal ialah Christian Philipp Karl Snell (1806-1886; mata pelajaran: penggunaan analisis infinitesimal dalam geometri, geometri analitik satah, mekanik analitik, optik, asas fizikal mekanik); Hermann Schaeffer (1824-1900; geometri analitik, fizik gunaan, analisis algebra, mengenai telegraf dan mesin elektronik lain); dan ahli falsafah Kuno Fischer (1824-1907; Kantianisme dan falsafah kritikal).

Bermula pada tahun 1871, Frege meneruskan pengajiannya di Universiti Göttingen, universiti terkemuka dalam matematik di wilayah berbahasa Jerman, di mana beliau menghadiri kuliah Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833-1872; geometri analitik), Ernst Christian Julius Schering (1824-1897; teori fungsi), Wilhelm Eduard Weber (1804-1891; kajian fizikal, fizik gunaan), Eduard Riecke (1845-1915; teori elektrik), dan Hermann Lotze (1817-1881; falsafah agama). Banyak doktrin falsafah Frege yang matang mempunyai persamaan dalam Lotze; sama ada terdapat pengaruh langsung terhadap pandangan Frege yang timbul daripada kehadirannya dalam kuliah Lotze telah menjadi subjek perdebatan ilmiah.

Pada tahun 1873, Frege memperoleh ijazah kedoktorannya di bawah Ernst Christian Julius Schering, dengan disertasi bertajuk "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("Mengenai Perwakilan Geometri Bentuk Khayalan dalam Satah"), di mana beliau bertujuan untuk menyelesaikan masalah asas dalam geometri seperti tafsiran matematik titik tak terhingga (khayalan) geometri projektif. Pada tahun 1874, beliau menamatkan Habilitation di Jena, membolehkannya menjadi pensyarah persendirian.

1.3. Perkahwinan dan Keluarga

Frege berkahwin dengan Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 Februari 1856 - 25 Jun 1904) pada 14 Mac 1887. Pasangan itu mempunyai sekurang-kurangnya dua orang anak, yang malangnya meninggal dunia semasa muda. Bertahun-tahun kemudian, mereka mengambil seorang anak angkat, Alfred. Walau bagaimanapun, sedikit sahaja yang diketahui mengenai kehidupan keluarga Frege.

1.4. Kerjaya Akademik

Pada tahun 1874, Frege memulakan kerjaya akademiknya di Universiti Jena sebagai Privatdozent (pensyarah persendirian). Beliau dilantik sebagai Ausserordentlicher Professor (profesor luar biasa) di Jena pada tahun 1879. Pada tahun 1896, beliau dinaikkan pangkat kepada Ordentlicher Honorarprofessor (profesor kehormat penuh). Beliau bersara dari Universiti Jena pada tahun 1918 dan meninggal dunia pada 26 Julai 1925 di Bad Kleinen, kini sebahagian daripada Mecklenburg-Vorpommern.

2.1. Begriffsschrift dan Asas Logik Moden

Walaupun pendidikan dan kerja matematik awal Frege memberi tumpuan terutamanya kepada geometri, karyanya tidak lama kemudian beralih kepada logik. Karyanya Begriffsschrift (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens_{Konsep-Skrip: Bahasa Formal untuk Pemikiran Murni Dimodelkan Mengikut Aritmetik}^{Bahasa German}), yang diterbitkan pada tahun 1879, menandakan titik perubahan dalam sejarah logik. Begriffsschrift membuka lembaran baru, termasuk perlakuan yang ketat terhadap idea fungsi dan pemboleh ubah. Matlamat Frege adalah untuk menunjukkan bahawa matematik berkembang daripada logik, dan dengan berbuat demikian, beliau mencipta teknik yang memisahkannya daripada silogisme Aristoteles tetapi membawanya agak dekat kepada logik proposisi Stoik.

Secara efektif, Frege mencipta logik predikat aksiomatik, sebahagian besarnya disebabkan oleh penciptaannya pemboleh ubah terkualifikasi, yang akhirnya menjadi lazim dalam matematik dan logik, dan yang menyelesaikan masalah keumuman berganda. Logik sebelumnya telah berurusan dengan pemalar logik dan, atau, jika... maka..., tidak, dan beberapa dan semua, tetapi lelaran operasi ini, terutamanya "beberapa" dan "semua", kurang difahami: malah perbezaan antara ayat seperti "setiap lelaki mencintai beberapa gadis" dan "beberapa gadis dicintai oleh setiap lelaki" hanya boleh diwakili secara sangat tiruan, manakala formalisme Frege tidak mempunyai kesukaran untuk menyatakan bacaan yang berbeza bagi "setiap lelaki mencintai beberapa gadis yang mencintai beberapa lelaki yang mencintai beberapa gadis" dan ayat-ayat yang serupa, selari sepenuhnya dengan perlakuannya terhadap, katakan, "setiap lelaki adalah bodoh".

Contoh yang sering disebut ialah logik Aristotle tidak dapat mewakili pernyataan matematik seperti teorem Euclid, satu pernyataan asas teori nombor bahawa terdapat bilangan nombor perdana yang tidak terhingga. "Notasi konseptual" Frege, bagaimanapun, boleh mewakili inferens tersebut. Analisis konsep logik dan jentera formalisasi yang penting kepada Principia Mathematica (3 jilid, 1910-13, oleh Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead), kepada teori huraian Russell, kepada teorem ketidaklengkapan Gödel Kurt Gödel, dan kepada teori kebenaran Alfred Tarski, akhirnya adalah disebabkan oleh Frege.

Notasi yang diperkenalkan dalam Begriffsschrift adalah unik dan membolehkan perwakilan logik yang lebih kompleks:

Konsep	Notasi Begriffsschrift	Notasi Moden
Penafian		¬A
Implikasi		B → A
Kuantifikasi Universal		∀x: F(x)
Kuantifikasi Eksistensial		∃x: F(x)
Kesetaraan	A ≡ B	A ↔ B

2.2. Logisisme dan "The Foundations of Arithmetic"

Salah satu tujuan Frege yang dinyatakan adalah untuk mengasingkan prinsip inferens yang benar-benar logik, supaya dalam perwakilan bukti matematik yang betul, seseorang tidak akan merujuk kepada "intuisi". Jika terdapat elemen intuitif, ia akan diasingkan dan diwakili secara berasingan sebagai aksiom: dari situ, bukti itu akan menjadi tulen secara logik dan tanpa jurang. Setelah menunjukkan kemungkinan ini, tujuan Frege yang lebih besar adalah untuk mempertahankan pandangan bahawa aritmetik adalah cabang logik, pandangan yang dikenali sebagai logisisme: tidak seperti geometri, aritmetik akan ditunjukkan tidak mempunyai asas dalam "intuisi", dan tidak memerlukan aksiom bukan logik. Sudah dalam Begriffsschrift 1879, teorem awal yang penting, contohnya, bentuk umum hukum trikotomi, telah diperoleh dalam apa yang Frege fahami sebagai logik tulen.

Idea ini dirumuskan dalam istilah bukan simbolik dalam karyanya The Foundations of Arithmetic (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884). Dalam karya ini, Frege mengkritik pandangan psikologisme mengenai konsep nombor, menegaskan bahawa nombor adalah objek objektif dan bukan entiti mental. Beliau berpendapat bahawa konsep nombor adalah analitik dan bukan sintetik.

2.3. "Basic Laws of Arithmetic" dan Program Logisisme

Kemudian, dalam Basic Laws of Arithmetic (Grundgesetze der Arithmetik, jilid 1, 1893; jilid 2, 1903; jilid 2 diterbitkan atas perbelanjaan beliau sendiri), Frege cuba untuk menurunkan, dengan menggunakan simbolismenya, semua hukum aritmetik daripada aksiom yang beliau tegaskan sebagai logik. Kebanyakan aksiom ini diambil daripada Begriffsschrift beliau, walaupun tidak tanpa beberapa perubahan penting. Satu-satunya prinsip yang benar-benar baru ialah apa yang beliau panggil Hukum Asas V: "julat nilai" fungsi f(x) adalah sama dengan "julat nilai" fungsi g(x) jika dan hanya jika ∀x[f(x) = g(x)].

Kes penting hukum tersebut boleh dirumuskan dalam notasi moden seperti berikut. Biarkan {x|Fx} menandakan ekstensi predikat Fx, iaitu, set semua F, dan begitu juga untuk Gx. Maka Hukum Asas V mengatakan bahawa predikat Fx dan Gx mempunyai ekstensi yang sama jika dan hanya jika ∀x[Fx ↔ Gx]. Set F adalah sama dengan set G hanya jika setiap F adalah G dan setiap G adalah F. (Kes ini istimewa kerana apa yang di sini dipanggil ekstensi predikat, atau set, hanyalah satu jenis "julat nilai" fungsi.)

Dalam satu episod terkenal, Bertrand Russell menulis kepada Frege, tepat ketika Jilid 2 Grundgesetze akan dicetak pada tahun 1903, menunjukkan bahawa Paradoks Russell boleh diturunkan daripada Hukum Asas V Frege. Adalah mudah untuk menentukan hubungan keahlian set atau ekstensi dalam sistem Frege; Russell kemudian menarik perhatian kepada "set benda x yang sedemikian rupa sehingga x bukan ahli x". Sistem Grundgesetze menyiratkan bahawa set yang dicirikan itu kedua-duanya adalah dan bukan ahli dirinya sendiri, dan oleh itu tidak konsisten. Frege menulis Lampiran tergesa-gesa, saat-saat akhir kepada Jilid 2, menurunkan kontradiksi dan mencadangkan untuk menghapuskannya dengan mengubah suai Hukum Asas V. Frege membuka Lampiran dengan komen yang sangat jujur: "Hampir tiada apa-apa yang lebih malang boleh menimpa seorang penulis saintifik daripada salah satu asas bangunannya digoncang setelah kerja selesai. Ini adalah kedudukan di mana saya diletakkan oleh surat Encik Bertrand Russell, tepat ketika pencetakan jilid ini hampir selesai."

Penyelesaian yang dicadangkan oleh Frege kemudiannya ditunjukkan menyiratkan bahawa hanya ada satu objek dalam alam semesta wacana, dan oleh itu tidak bernilai, tetapi kerja-kerja terkini telah menunjukkan bahawa sebahagian besar program Grundgesetze mungkin dapat diselamatkan dengan cara lain:

• Hukum Asas V boleh dilemahkan dengan cara lain. Cara yang paling terkenal adalah disebabkan oleh ahli falsafah dan ahli logik matematik George Boolos. "Konsep" F adalah "kecil" jika objek yang berada di bawah F tidak boleh diletakkan dalam korespondensi satu-satu dengan alam semesta wacana, iaitu, melainkan: ∃R[R adalah 1-ke-1 & ∀x∃y(xRy & Fy)]. Sekarang lemahkan V kepada V*: "konsep" F dan "konsep" G mempunyai "ekstensi" yang sama jika dan hanya jika F mahupun G tidak kecil atau ∀x(Fx ↔ Gx). V* adalah konsisten jika aritmetik peringkat kedua adalah, dan mencukupi untuk membuktikan aksiom aritmetik peringkat kedua.
• Hukum Asas V boleh digantikan dengan prinsip Hume, yang mengatakan bahawa bilangan F adalah sama dengan bilangan G jika dan hanya jika F boleh diletakkan dalam korespondensi satu-satu dengan G. Prinsip ini juga konsisten jika aritmetik peringkat kedua adalah, dan mencukupi untuk membuktikan aksiom aritmetik peringkat kedua. Hasil ini dinamakan teorem Frege kerana ia diperhatikan bahawa dalam membangunkan aritmetik, penggunaan Hukum Asas V oleh Frege terhad kepada bukti prinsip Hume; dari sinilah, seterusnya, prinsip aritmetik diturunkan.
• Logik Frege, kini dikenali sebagai logik peringkat kedua, boleh dilemahkan kepada logik peringkat kedua predikatif. Logik peringkat kedua predikatif ditambah Hukum Asas V terbukti konsisten dengan kaedah finitisme atau konstruktivisme matematik, tetapi ia hanya boleh mentafsirkan serpihan aritmetik yang sangat lemah.

2.4. Pengaruh terhadap Logik Matematik

Kerja Frege dalam logik mendapat sedikit perhatian antarabangsa sehingga tahun 1903 apabila Russell menulis lampiran kepada The Principles of Mathematics yang menyatakan perbezaannya dengan Frege. Notasi diagramatik yang digunakan oleh Frege tidak mempunyai pendahulu (dan tidak mempunyai peniru sejak itu). Lebih-lebih lagi, sehingga Principia Mathematica (3 jilid) Russell dan Whitehead muncul pada tahun 1910-13, pendekatan dominan kepada logik matematik masih merupakan pendekatan George Boole dan keturunan intelektualnya, terutamanya Ernst Schröder. Idea logik Frege bagaimanapun tersebar melalui tulisan pelajarnya Rudolf Carnap dan pengagum lain, terutamanya Bertrand Russell dan Ludwig Wittgenstein.

3.1. Makna dan Rujukan (Sinn und Bedeutung)

Kertas kerja Frege pada tahun 1892, "On Sense and Reference" (Über Sinn und Bedeutung_{Mengenai Makna dan Rujukan}^{Bahasa German}), memperkenalkan perbezaan berpengaruhnya antara makna (Sinn) dan rujukan (Bedeutung, yang juga telah diterjemahkan sebagai "meaning", atau "denotation"). Walaupun akaun konvensional makna mengambil ungkapan untuk mempunyai hanya satu ciri (rujukan), Frege memperkenalkan pandangan bahawa ungkapan mempunyai dua aspek kepentingan yang berbeza: makna dan rujukannya.

Rujukan (atau "Bedeutung") digunakan pada nama khas, di mana ungkapan tertentu (katakan ungkapan "Tom") hanya merujuk kepada entiti yang mempunyai nama (orang bernama Tom). Frege juga berpendapat bahawa proposisi mempunyai hubungan rujukan dengan nilai kebenaran mereka (dengan kata lain, pernyataan "merujuk" kepada nilai kebenaran yang diambilnya). Sebaliknya, makna (atau "Sinn") yang dikaitkan dengan ayat lengkap ialah pemikiran yang diungkapkannya. Makna sesuatu ungkapan dikatakan sebagai "cara persembahan" item yang dirujuk, dan mungkin terdapat pelbagai cara perwakilan untuk rujukan yang sama.

Perbezaan ini dapat digambarkan seperti berikut: Dalam penggunaan biasa mereka, nama "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor", yang untuk tujuan logik adalah keseluruhan yang tidak dapat dianalisis, dan ungkapan fungsian "Raja United Kingdom", yang mengandungi bahagian-bahagian penting "Raja ξ" dan "United Kingdom", mempunyai rujukan yang sama, iaitu, orang yang paling dikenali sebagai Raja Charles III. Tetapi makna perkataan "United Kingdom" adalah sebahagian daripada makna ungkapan yang kedua, tetapi bukan sebahagian daripada makna "nama penuh" Raja Charles.

Perbezaan ini dipertikaikan oleh Bertrand Russell, terutamanya dalam kertas kerjanya "On Denoting"; kontroversi itu berterusan sehingga kini, terutamanya didorong oleh kuliah terkenal Saul Kripke "Naming and Necessity".

3.2. Konsep dan Objek (Begriff und Gegenstand)

Frege juga memperkenalkan perbezaan antara konsep dan objek (Begriff und Gegenstand). Dalam pemikiran logik dan linguistiknya, konsep adalah fungsi yang memetakan objek kepada nilai kebenaran, manakala objek adalah entiti yang boleh dirujuk oleh nama khas. Konsep adalah bersifat "tak lengkap" atau "predikatif", memerlukan objek untuk menjadi lengkap.

3.3. Konsep Falsafah Bahasa Lain

Sumbangan penting lain Frege kepada falsafah bahasa termasuk:

• Analisis fungsi dan argumen bagi proposisi;
• Prinsip komposisionaliti, yang menyatakan bahawa makna keseluruhan ungkapan kompleks ditentukan oleh makna bahagian-bahagiannya dan cara ia digabungkan;
• Prinsip konteks, yang menyatakan bahawa perkataan hanya mempunyai makna dalam konteks ayat; dan
• Teori rujukan bermediasi (mediated reference theory).

4.1. Kritikan terhadap Psikologisme

Sebagai ahli falsafah matematik, Frege menyerang rayuan psikologisme kepada penjelasan mental mengenai kandungan penghakiman makna ayat. Tujuan asalnya sangat jauh daripada menjawab soalan umum tentang makna; sebaliknya, beliau mencipta logiknya untuk meneroka asas aritmetik, berusaha untuk menjawab soalan seperti "Apakah nombor?" atau "Objek apakah yang dirujuk oleh perkataan nombor ('satu', 'dua', dan lain-lain)?" Tetapi dalam mengejar perkara-perkara ini, beliau akhirnya mendapati dirinya menganalisis dan menjelaskan apa itu makna, dan dengan itu mencapai beberapa kesimpulan yang terbukti sangat penting untuk perjalanan falsafah analitik dan falsafah bahasa seterusnya. Beliau menolak penjelasan psikologi untuk logik dan matematik, menekankan objektiviti dan universaliti kebenaran logik dan matematik.

4.2. Platonisme

Frege berpendapat untuk Platonisme menentang psikologisme atau formalisme, mengenai nombor dan proposisi masing-masing. Beliau memegang pandangan realisme terhadap objek abstrak seperti nombor dan proposisi, menganggapnya wujud secara objektif dan bebas daripada minda manusia.

4.3. Pandangan Politik Peribadi dan Kontroversi

Tulisan-tulisan falsafah Frege yang diterbitkan adalah sangat teknikal dan terpisah daripada isu-isu praktikal, sehinggakan sarjana Frege, Michael Dummett, menyatakan "kejutan untuk mengetahui, semasa membaca diari Frege, bahawa wira beliau adalah seorang anti-Semit." Selepas Revolusi Jerman 1918-19, pandangan politiknya menjadi lebih radikal. Pada tahun terakhir hayatnya, pada usia 76 tahun, diarinya mengandungi pandangan politik yang menentang sistem parlimen, demokrat, liberal, Katolik, Perancis dan Yahudi, yang beliau fikir harus dilucutkan hak politik dan, sebaik-baiknya, diusir dari Jerman.

Frege mengakui "bahawa beliau pernah menganggap dirinya seorang liberal dan pengagum Otto von Bismarck", tetapi kemudian bersimpati dengan Jeneral Erich Ludendorff. Dalam entri bertarikh 5 Mei 1924, Frege menyatakan persetujuan dengan artikel yang diterbitkan dalam Deutschlands Erneuerung oleh Houston Stewart Chamberlain yang memuji Adolf Hitler. Frege mencatat kepercayaan bahawa adalah lebih baik jika orang Yahudi di Jerman "hilang, atau lebih baik ingin lenyap dari Jerman." Diari itu juga mengandungi kritikan terhadap hak pilih universal dan sosialisme.

Walaupun pandangan yang tercatat dalam diarinya, Frege mempunyai hubungan mesra dengan orang Yahudi dalam kehidupan sebenar: antara pelajarnya ialah Gershom Scholem, yang sangat menghargai pengajarannya, dan beliau yang menggalakkan Ludwig Wittgenstein untuk pergi ke England untuk belajar dengan Bertrand Russell. Diari 1924 itu diterbitkan secara anumerta pada tahun 1994.

6.1. Pengabaian Awal dan Penemuan Semula Kemudian

Karya Frege kurang mendapat perhatian semasa hayatnya. Notasi diagramatik yang beliau gunakan tidak mempunyai pendahulu dan tidak ditiru sejak itu. Tambahan pula, sehingga Principia Mathematica (3 jilid) oleh Russell dan Whitehead muncul pada tahun 1910-13, pendekatan dominan kepada logik matematik masih merupakan pendekatan George Boole dan keturunan intelektualnya, terutamanya Ernst Schröder. Walau bagaimanapun, idea logik Frege tersebar melalui tulisan pelajarnya Rudolf Carnap dan pengagum lain, terutamanya Bertrand Russell dan Ludwig Wittgenstein. Beliau kini secara meluas dianggap sebagai ahli logik terhebat sejak Aristotle, dan salah seorang ahli falsafah matematik yang paling mendalam.

6.2. Pengaruh terhadap Falsafah Analitik dan Pemikir Kemudian

Frege adalah salah seorang pengasas falsafah analitik, yang karyanya mengenai logik dan bahasa menimbulkan giliran linguistik dalam falsafah. Sumbangannya kepada falsafah bahasa, terutamanya perbezaan antara makna dan rujukan, telah membentuk perbincangan dalam bidang tersebut. Beliau secara langsung mempengaruhi pemikir-pemikir utama seperti Ludwig Wittgenstein dan Bertrand Russell, serta bidang falsafah analitik secara keseluruhan. Edmund Husserl juga merupakan seorang ahli falsafah yang sangat dipengaruhi oleh Frege.

6.3. Penilaian Semula Moden terhadap Logisisme

Program logisisme Frege, walaupun menghadapi cabaran daripada Paradoks Russell, telah dinilai semula dan dipertahankan dalam konteks logik kontemporari. Kerja-kerja oleh ahli falsafah seperti Charles Parsons, George Boolos, dan Richard Heck telah menyumbang kepada pemulihan logisisme Frege, menunjukkan bahawa sebahagian besar program Grundgesetze mungkin dapat diselamatkan dengan cara lain, terutamanya melalui penggunaan prinsip Hume. Ini telah membawa kepada pemahaman yang lebih mendalam tentang sumbangan Frege kepada asas aritmetik dan logik matematik.