Bernard Bolzano

2.1. Kelahiran dan Keluarga

Bernard Bolzano dilahirkan dengan nama Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano pada 5 Oktober 1781 di Prague, Kerajaan Bohemia. Bapanya, Bernard Pompeius Bolzano, ialah seorang peniaga Itali yang telah berpindah ke Prague. Ibunya, Maria Cecilia Maurer, berasal dari keluarga Maurer yang berbahasa Jerman di Prague. Kedua-dua ibu bapanya adalah penganut Katolik Roma yang taat. Daripada dua belas orang anak mereka, hanya dua yang hidup sehingga dewasa.

2.2. Pendidikan dan Kerjaya Awal

Pada usia sepuluh tahun, Bolzano memasuki Gimnasium Piaris di Prague, di mana beliau belajar dari tahun 1791 hingga 1796. Pada tahun 1796, Bolzano mendaftar di Universiti Charles di Prague (dahulunya Universiti Prague), di mana beliau mempelajari matematik, falsafah, dan fizik. Bermula pada tahun 1800, beliau turut mendalami teologi, dan pada tahun 1804, beliau ditahbiskan sebagai paderi Katolik. Beliau memperoleh ijazah Doktor Falsafah (PhD) pada tahun 1804 dengan tesis bertajuk Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Pertimbangan Mengenai Beberapa Objek Geometri Asas).

Pada tahun 1805, Bolzano dilantik ke jawatan profesor baru dalam falsafah agama di Universiti Prague. Beliau terbukti menjadi pensyarah yang popular, bukan sahaja dalam bidang agama tetapi juga dalam falsafah. Pada tahun 1818, beliau dipilih sebagai Dekan Fakulti Falsafah. Semasa pengajiannya, beliau menunjukkan minat yang mendalam terhadap falsafah Gottfried Leibniz dan Christian Wolff, dan kemudiannya turut mengkaji karya Immanuel Kant.

3.1. Teologi dan Falsafah Agama

Sebagai seorang paderi Katolik dan profesor falsafah agama di Universiti Prague, Bolzano mendalami bidang teologi dan falsafah agama. Beliau menghasilkan karya empat jilid bertajuk Lehrbuch der Religionswissenschaft (Buku Teks Sains Agama). Dalam falsafahnya, Bolzano menolak tafsiran subjektif kebenaran dan sebaliknya menyokong konsep kebenaran yang wujud dalam dirinya sendiri, bebas daripada pengaruh sesiapa yang mengetahui atau memikirkannya. Beliau percaya bahawa kebenaran objektif wujud secara bebas, dan bahkan Tuhan yang Maha Tahu pun mengakui kewujudannya.

Bolzano berpendapat bahawa terdapat aspek-aspek unsur yang masuk akal, persepsi, proposisi, dan kesimpulan dalam proses pengetahuan. Beliau percaya bahawa pengetahuan diperoleh di bawah syarat-syarat yang memungkinkannya, dan sentiasa ada syarat-syarat yang akan mengarahkan kepada penemuan. Baginya, ilmu pengetahuan sejati memiliki dasar yang kukuh dengan prinsip-prinsip sains, di mana seluruh ranah pengetahuan dibahagikan kepada bidang-bidang khusus dan dihuraikan dalam risalah.

3.2. Aktivisme Sosial dan Politik

Pandangan politik Bolzano sangat liberal dan progresif. Beliau secara terbuka mengkritik pembaziran sosial akibat militarisme dan menganggap perang sebagai sesuatu yang tidak perlu. Beliau mendesak reformasi menyeluruh terhadap sistem pendidikan, sosial, dan ekonomi untuk mengarahkan kepentingan negara ke arah keamanan, bukannya konflik bersenjata antara negara-negara. Beliau bahkan mengemukakan gagasan tentang negara komunisme ala Henri de Saint-Simon. Keyakinan politiknya, yang sering beliau kongsikan dengan orang lain, akhirnya terbukti terlalu liberal bagi pihak berkuasa Empayar Austria.

3.3. Konflik dengan Pihak Berkuasa dan Pembuangan

Pandangan progresif Bolzano, terutamanya yang berkaitan dengan Pencerahan dan sokongannya terhadap pergerakan kemerdekaan Czech, dianggap berbahaya oleh pihak istana dan Gereja Katolik. Pada 24 Disember 1819, beliau dipecat daripada jawatan profesornya di Universiti Prague setelah enggan menarik balik kepercayaannya. Beliau kemudiannya dibuang negeri ke luar bandar dan dilarang menerbitkan karyanya dalam jurnal arus perdana.

Walaupun menghadapi sekatan, Bolzano terus mengembangkan idea-ideanya dan menerbitkannya secara persendirian atau dalam jurnal-jurnal yang kurang dikenali di Eropah Timur. Keadaan hidupnya menjadi sukar, terutama selepas kematian ibunya pada tahun 1821. Namun, pada tahun 1823, beliau bertemu dengan Anna Hoffmann, isteri seorang peniaga Prague, yang memberikan sokongan kewangan dan moral yang membolehkannya meneruskan penyelidikan falsafah dan matematik secara peribadi sehingga kematian Anna pada tahun 1842. Pada tahun 1842, Bolzano kembali ke Prague, di mana beliau meninggal dunia pada tahun 1848.

4.1. Ketegasan dalam Analisis Matematik

Bolzano berpendapat bahawa, bertentangan dengan kebanyakan matematik yang lazim pada zamannya, adalah lebih baik untuk tidak memperkenalkan idea-idea intuitif seperti masa dan gerakan ke dalam matematik. Untuk tujuan ini, beliau adalah salah seorang ahli matematik terawal yang mula menerapkan ketegasan ke dalam analisis matematik. Karya-karya utamanya dalam bidang ini termasuk Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik (1810), Der binomische Lehrsatz (1816), dan Rein analytischer Beweis (1817). Karya-karya ini memperkenalkan "contoh cara baru untuk membangunkan analisis", yang matlamat utamanya tidak akan tercapai sehingga kira-kira lima puluh tahun kemudian apabila ia mendapat perhatian Karl Weierstrass.

Beliau menyumbang kepada asas analisis matematik dengan memperkenalkan definisi ε-δ yang sepenuhnya ketat bagi had matematik. Bolzano adalah yang pertama mengiktiraf sifat batas atas terkecil bagi nombor nyata. Beliau juga skeptikal terhadap kemungkinan infinitesimal Gottfried Leibniz, yang merupakan asas awal bagi kalkulus pembezaan. Konsep had Bolzano adalah serupa dengan konsep moden: bahawa had, daripada menjadi hubungan antara infinitesimal, sebaliknya mesti dinyatakan dari segi bagaimana pemboleh ubah bersandar mendekati kuantiti tertentu apabila pemboleh ubah tak bersandar mendekati kuantiti tertentu yang lain.

4.2. Teorem dan Bukti Utama

Bolzano juga memberikan bukti analitik tulen yang pertama bagi teorem asas algebra, yang pada asalnya telah dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss daripada pertimbangan geometri. Beliau juga memberikan bukti analitik tulen yang pertama bagi teorem nilai sederhana (juga dikenali sebagai Teorem Bolzano). Hari ini beliau kebanyakannya diingati untuk Teorem Bolzano-Weierstrass, yang dibangunkan secara bebas oleh Karl Weierstrass dan diterbitkan bertahun-tahun selepas bukti pertama Bolzano, dan pada mulanya dipanggil teorem Weierstrass sehingga karya awal Bolzano ditemui semula.

5.1. 'Wissenschaftslehre' (Teori Sains)

Wissenschaftslehre (Teori Sains), yang diterbitkan pada tahun 1837 dalam empat jilid, ialah karya utama Bolzano. Ia meliputi bukan sahaja falsafah sains dalam erti kata moden, tetapi juga logik, epistemologi, dan pedagogi saintifik. Teori logik yang dibangunkan oleh Bolzano dalam karya ini telah diiktiraf sebagai sesuatu yang sangat inovatif.

Dalam Wissenschaftslehre, Bolzano berusaha untuk menyediakan asas logik bagi semua sains, dibina di atas abstraksi seperti hubungan bahagian-keseluruhan, objek abstrak, atribut, bentuk ayat, idea dan proposisi dalam dirinya sendiri, jumlah dan set, koleksi, bahan, keterikatan, idea subjektif, pertimbangan, dan kejadian ayat. Usaha-usaha ini adalah lanjutan daripada pemikiran awalnya dalam falsafah matematik, contohnya dalam Beiträge 1810 beliau di mana beliau menekankan perbezaan antara hubungan objektif antara akibat logik dan pengiktirafan subjektif kita terhadap hubungan ini. Bagi Bolzano, tidak cukup sekadar mempunyai pengesahan kebenaran semula jadi atau matematik, sebaliknya peranan sebenar sains (baik tulen mahupun terapan) adalah untuk mencari justifikasi dari segi kebenaran asas yang mungkin kelihatan jelas atau tidak jelas kepada intuisi kita.

Bolzano memulakan karyanya dengan menjelaskan maksud "teori sains" dan hubungan antara pengetahuan, kebenaran, dan sains. Pengetahuan manusia, menurutnya, terdiri daripada semua kebenaran (atau proposisi benar) yang diketahui atau pernah diketahui oleh manusia. Walau bagaimanapun, ini hanyalah sebahagian kecil daripada semua kebenaran yang wujud, dan masih terlalu banyak untuk difahami oleh seorang manusia. Oleh itu, pengetahuan kita dibahagikan kepada bahagian-bahagian yang lebih mudah diakses. Koleksi kebenaran sedemikianlah yang Bolzano sebut sebagai sains (Wissenschaft). Penting untuk diingat bahawa tidak semua proposisi benar dalam sesuatu sains perlu diketahui oleh manusia; oleh itu, inilah cara kita boleh membuat penemuan dalam sesuatu sains. Untuk memahami dan menghayati kebenaran sesuatu sains dengan lebih baik, manusia telah mencipta buku teks (Lehrbuch), yang tentu saja hanya mengandungi proposisi benar dalam sains yang diketahui oleh manusia. Tetapi bagaimana untuk mengetahui di mana untuk membahagikan pengetahuan kita, iaitu, kebenaran mana yang tergolong bersama? Bolzano menjelaskan bahawa kita akhirnya akan mengetahui ini melalui beberapa refleksi, tetapi peraturan yang terhasil tentang cara membahagikan pengetahuan kita kepada sains akan menjadi sains itu sendiri. Sains ini, yang memberitahu kita kebenaran mana yang tergolong bersama dan harus dijelaskan dalam buku teks, adalah Teori Sains (Wissenschaftslehre).

Dalam Wissenschaftslehre, Bolzano terutamanya prihatin dengan tiga alam:

• Alam bahasa, yang terdiri daripada perkataan dan ayat.
• Alam pemikiran, yang terdiri daripada idea subjektif dan pertimbangan.
• Alam logik, yang terdiri daripada idea objektif (atau idea dalam dirinya sendiri) dan proposisi dalam dirinya sendiri.

Bolzano menumpukan sebahagian besar Wissenschaftslehre untuk penjelasan alam-alam ini dan hubungannya. Dua perbezaan memainkan peranan penting dalam sistemnya. Pertama, perbezaan antara bahagian dan keseluruhan. Contohnya, perkataan adalah bahagian ayat, idea subjektif adalah bahagian pertimbangan, idea objektif adalah bahagian proposisi dalam dirinya sendiri. Kedua, semua objek terbahagi kepada yang wujud, yang bermaksud bahawa ia saling berkaitan secara kausal dan terletak dalam masa dan/atau ruang, dan yang tidak wujud. Tuntutan asli Bolzano adalah bahawa alam logik dihuni oleh objek jenis yang terakhir.

Konsep Satz an Sich (proposisi dalam dirinya sendiri) adalah gagasan asas dalam Wissenschaftslehre Bolzano. Ia diperkenalkan pada permulaan, dalam seksyen 19. Bolzano mula-mula memperkenalkan konsep proposisi (yang diucapkan atau ditulis atau difikirkan atau dalam dirinya sendiri) dan idea (yang diucapkan atau ditulis atau difikirkan atau dalam dirinya sendiri). "Rumput itu hijau" adalah proposisi (Satz): dalam hubungan perkataan ini, sesuatu dikatakan atau ditegaskan. "Rumput", bagaimanapun, hanyalah idea (Vorstellung). Sesuatu diwakili olehnya, tetapi ia tidak menegaskan apa-apa. Konsep proposisi Bolzano agak luas: "Segi empat tepat itu bulat" adalah proposisi - walaupun ia palsu kerana percanggahan diri - kerana ia terdiri dalam cara yang dapat difahami daripada bahagian-bahagian yang dapat difahami. Bolzano tidak memberikan definisi lengkap Satz an Sich (iaitu proposisi dalam dirinya sendiri) tetapi beliau memberikan maklumat yang cukup untuk memahami maksudnya. Proposisi dalam dirinya sendiri (i) tidak mempunyai kewujudan (iaitu: ia tidak mempunyai kedudukan dalam masa atau tempat), (ii) sama ada benar atau palsu, bebas daripada sesiapa yang mengetahui atau memikirkan bahawa ia benar atau palsu, dan (iii) adalah apa yang 'difahami' oleh makhluk yang berfikir. Jadi ayat yang ditulis ('Socrates mempunyai kebijaksanaan') memahami proposisi dalam dirinya sendiri, iaitu proposisi [Socrates mempunyai kebijaksanaan]. Ayat yang ditulis itu mempunyai kewujudan (ia mempunyai lokasi tertentu pada masa tertentu, katakan ia berada di skrin komputer anda pada saat ini) dan menyatakan proposisi dalam dirinya sendiri yang berada dalam alam dalam dirinya sendiri (iaitu an sich). (Penggunaan istilah an sich oleh Bolzano sangat berbeza daripada Kant; untuk penggunaan istilah Kant, lihat an sich.) Setiap proposisi dalam dirinya sendiri terdiri daripada idea-idea dalam dirinya sendiri (untuk kesederhanaan, kita akan menggunakan proposisi untuk bermaksud "proposisi dalam dirinya sendiri" dan idea untuk merujuk kepada idea objektif atau idea dalam dirinya sendiri). Idea-idea ditakrifkan secara negatif sebagai bahagian-bahagian proposisi yang bukan proposisi itu sendiri. Sesuatu proposisi terdiri daripada sekurang-kurangnya tiga idea, iaitu: idea subjek, idea predikat dan kopula (iaitu 'mempunyai', atau bentuk lain dari memiliki). Walaupun terdapat proposisi yang mengandungi proposisi, kita tidak akan mengambilnya kira sekarang. Bolzano mengenal pasti jenis-jenis idea tertentu. Terdapat idea-idea ringkas yang tidak mempunyai bahagian (sebagai contoh Bolzano menggunakan [sesuatu]), tetapi terdapat juga idea-idea kompleks yang terdiri daripada idea-idea lain (Bolzano menggunakan contoh [tiada apa-apa], yang terdiri daripada idea [bukan] dan [sesuatu]). Idea-idea kompleks boleh mempunyai kandungan yang sama (iaitu bahagian yang sama) tanpa menjadi sama - kerana komponennya disambungkan secara berbeza. Idea [Pen hitam dengan dakwat biru] berbeza daripada idea [Pen biru dengan dakwat hitam] walaupun bahagian-bahagian kedua-dua idea adalah sama.

Penting untuk difahami bahawa sesuatu idea tidak semestinya mempunyai objek. Bolzano menggunakan objek untuk merujuk kepada sesuatu yang diwakili oleh sesuatu idea. Idea yang mempunyai objek, mewakili objek itu. Tetapi idea yang tidak mempunyai objek mewakili apa-apa. (Jangan keliru di sini dengan terminologi: idea tanpa objek adalah idea tanpa perwakilan.) Sebagai contoh, idea [segi empat sama bulat] tidak mempunyai objek, kerana objek yang sepatutnya diwakili adalah bercanggah dengan dirinya sendiri. Contoh lain ialah idea [tiada apa-apa] yang pastinya tidak mempunyai objek. Walau bagaimanapun, proposisi [idea segi empat sama bulat mempunyai kerumitan] mempunyai idea subjek [idea segi empat sama bulat]. Idea subjek ini mempunyai objek, iaitu idea [segi empat sama bulat]. Tetapi, idea itu tidak mempunyai objek. Selain idea tanpa objek, terdapat idea yang hanya mempunyai satu objek, cth. idea [lelaki pertama di bulan] hanya mewakili satu objek. Bolzano memanggil idea-idea ini 'idea tunggal'. Jelas sekali terdapat juga idea yang mempunyai banyak objek (cth. [warganegara Amsterdam]) dan bahkan objek yang tidak terhingga banyaknya (cth. [nombor perdana]).

Bolzano mempunyai teori kompleks tentang bagaimana kita dapat merasakan sesuatu. Beliau menjelaskan sensasi melalui istilah intuisi, dalam bahasa Jerman dipanggil Anschauung. Intuisi adalah idea ringkas, ia hanya mempunyai satu objek (Einzelvorstellung), tetapi selain itu, ia juga unik (Bolzano memerlukan ini untuk menjelaskan sensasi). Intuisi (Anschauungen) adalah idea objektif, ia tergolong dalam alam an sich, yang bermaksud ia tidak mempunyai kewujudan. Seperti yang dikatakan, hujah Bolzano untuk intuisi adalah melalui penjelasan sensasi. Apa yang berlaku apabila anda merasakan objek yang benar-benar wujud, contohnya sekuntum mawar, adalah ini: aspek-aspek berbeza mawar, seperti baunya dan warnanya, menyebabkan perubahan dalam diri anda. Perubahan itu bermakna sebelum dan selepas merasakan mawar, fikiran anda berada dalam keadaan yang berbeza. Jadi sensasi sebenarnya adalah perubahan dalam keadaan mental anda. Bagaimana ini berkaitan dengan objek dan idea? Bolzano menjelaskan bahawa perubahan ini, dalam fikiran anda, pada dasarnya adalah idea ringkas (Vorstellung), seperti, 'bau ini' (mawar tertentu ini). Idea ini mewakili; ia mempunyai perubahan sebagai objeknya. Selain menjadi ringkas, perubahan ini juga mesti unik. Ini kerana secara harfiran anda tidak boleh mempunyai pengalaman yang sama dua kali, dan dua orang, yang menghidu mawar yang sama pada masa yang sama, tidak boleh mempunyai pengalaman yang sama persis tentang bau itu (walaupun ia akan sangat serupa). Jadi setiap sensasi tunggal menyebabkan idea tunggal (baru) yang unik dan ringkas dengan perubahan tertentu sebagai objeknya. Sekarang, idea ini dalam fikiran anda adalah idea subjektif, bermakna ia ada dalam diri anda pada masa tertentu. Ia mempunyai kewujudan. Tetapi idea subjektif ini mesti sepadan dengan, atau mempunyai sebagai kandungan, idea objektif. Di sinilah Bolzano membawa intuisi (Anschauungen); ia adalah idea-idea ringkas, unik dan objektif yang sepadan dengan idea subjektif kita tentang perubahan yang disebabkan oleh sensasi. Jadi untuk setiap sensasi tunggal yang mungkin, terdapat idea objektif yang sepadan. Secara skematik keseluruhan proses adalah seperti ini: setiap kali anda menghidu mawar, baunya menyebabkan perubahan dalam diri anda. Perubahan ini adalah objek idea subjektif anda tentang bau tertentu itu. Idea subjektif itu sepadan dengan intuisi atau Anschauung.

Menurut Bolzano, semua proposisi terdiri daripada tiga elemen (ringkas atau kompleks): subjek, predikat dan kopula. Daripada istilah kopulatif yang lebih tradisional 'adalah', Bolzano lebih suka 'mempunyai'. Sebabnya ialah 'mempunyai', tidak seperti 'adalah', boleh menghubungkan istilah konkrit, seperti 'Socrates', kepada istilah abstrak seperti 'kebotakan'. "Socrates mempunyai kebotakan" adalah, menurut Bolzano, lebih baik daripada "Socrates botak" kerana bentuk yang terakhir adalah kurang asas: 'botak' itu sendiri terdiri daripada elemen 'sesuatu', 'yang', 'mempunyai' dan 'kebotakan'. Bolzano juga mengurangkan proposisi eksistensial kepada bentuk ini: "Socrates wujud" akan menjadi "Socrates mempunyai kewujudan (Dasein)".

Peranan utama dalam teori logik Bolzano dimainkan oleh tanggapan variasi: pelbagai hubungan logik ditakrifkan dari segi perubahan dalam nilai kebenaran yang ditanggung oleh proposisi apabila bahagian bukan logiknya digantikan dengan yang lain. Proposisi analitik secara logik, contohnya, adalah yang mana semua bahagian bukan logik boleh digantikan tanpa perubahan nilai kebenaran. Dua proposisi adalah 'serasi' (verträglich) berkenaan dengan salah satu bahagian komponennya x jika terdapat sekurang-kurangnya satu istilah yang boleh dimasukkan yang akan menjadikan kedua-duanya benar. Proposisi Q adalah 'boleh disimpulkan' (ableitbar) daripada proposisi P, berkenaan dengan bahagian bukan logiknya, jika mana-mana penggantian bahagian-bahagian itu yang menjadikan P benar juga menjadikan Q benar. Jika sesuatu proposisi boleh disimpulkan daripada yang lain berkenaan dengan semua bahagian bukan logiknya, ia dikatakan 'boleh disimpulkan secara logik'. Selain hubungan kebolehsimpulan, Bolzano juga mempunyai hubungan 'pengasasan' (Abfolge) yang lebih ketat. Ini adalah hubungan asimetri yang berlaku antara proposisi benar, apabila salah satu proposisi bukan sahaja boleh disimpulkan daripada, tetapi juga dijelaskan oleh yang lain.

Bolzano membezakan lima makna perkataan benar dan kebenaran dalam penggunaan umum, yang semuanya dianggap tidak bermasalah oleh Bolzano. Makna-makna tersebut disenaraikan mengikut kesesuaian:

• Makna objektif abstrak: Kebenaran menandakan atribut yang mungkin berlaku kepada proposisi, terutamanya kepada proposisi dalam dirinya sendiri, iaitu atribut berdasarkan proposisi tersebut menyatakan sesuatu yang dalam realiti adalah seperti yang dinyatakan. Antonim: kepalsuan, ketidakbenaran, dusta.
• Makna objektif konkrit: (a) Kebenaran menandakan proposisi yang mempunyai atribut kebenaran dalam makna objektif abstrak. Antonim: (a) kepalsuan.
• Makna subjektif: (a) Kebenaran menandakan pertimbangan yang betul. Antonim: (a) kesilapan.
• Makna kolektif: Kebenaran menandakan badan atau kepelbagaian proposisi atau pertimbangan yang benar (cth. kebenaran alkitabiah).
• Makna yang tidak sesuai: Benar menandakan bahawa sesuatu objek dalam realiti adalah seperti yang dinyatakan oleh denominasi. (cth. Tuhan yang benar). Antonim: palsu, tidak nyata, ilusi.

Perhatian utama Bolzano adalah terhadap makna objektif konkrit: dengan kebenaran objektif konkrit atau kebenaran dalam dirinya sendiri. Semua kebenaran dalam dirinya sendiri adalah sejenis proposisi dalam dirinya sendiri. Ia tidak wujud, iaitu ia tidak terletak secara ruang-masa seperti proposisi yang difikirkan dan diucapkan. Walau bagaimanapun, proposisi tertentu mempunyai atribut sebagai kebenaran dalam dirinya sendiri. Menjadi proposisi yang difikirkan bukanlah sebahagian daripada konsep kebenaran dalam dirinya sendiri, walaupun fakta bahawa, memandangkan kemahatahuan Tuhan, semua kebenaran dalam dirinya sendiri juga adalah kebenaran yang difikirkan. Konsep 'kebenaran dalam dirinya sendiri' dan 'kebenaran yang difikirkan' boleh ditukar ganti, kerana ia terpakai kepada objek yang sama, tetapi ia tidak sama.

Bolzano menawarkan definisi yang betul bagi kebenaran (objektif abstrak): sesuatu proposisi adalah benar jika ia menyatakan sesuatu yang terpakai kepada objeknya. Definisi yang betul bagi kebenaran (objektif konkrit) mestilah: kebenaran adalah proposisi yang menyatakan sesuatu yang terpakai kepada objeknya. Definisi ini terpakai kepada kebenaran dalam dirinya sendiri, bukannya kepada kebenaran yang difikirkan atau diketahui, kerana tiada satu pun konsep yang terdapat dalam definisi ini adalah bawahan kepada konsep sesuatu yang mental atau diketahui.

Bolzano membuktikan dalam §§31-32 Wissenschaftslehre beliau tiga perkara:

• Terdapat sekurang-kurangnya satu kebenaran dalam dirinya sendiri (makna objektif konkrit):

1. Tiada proposisi benar (andaian)
2. 1. adalah proposisi (jelas)
3. 1. adalah benar (diandaikan) dan palsu (kerana 1.)
4. 1. adalah bercanggah dengan diri sendiri (kerana 3.)
5. 1. adalah palsu (kerana 4.)
6. Terdapat sekurang-kurangnya satu proposisi benar (kerana 1. dan 5.)

• Terdapat lebih daripada satu kebenaran dalam dirinya sendiri:

7. Terdapat hanya satu kebenaran dalam dirinya sendiri, iaitu A adalah B (andaian)
8. A adalah B adalah kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 7.)
9. Tiada kebenaran lain dalam dirinya sendiri selain A adalah B (kerana 7.)
10. 9. adalah proposisi benar/kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 7.)
11. Terdapat dua kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 8. dan 10.)
12. Terdapat lebih daripada satu kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 11.)

• Terdapat bilangan kebenaran yang tidak terhingga dalam dirinya sendiri:

13. Terdapat hanya n kebenaran dalam dirinya sendiri, iaitu A adalah B .... Y adalah Z (andaian)
14. A adalah B .... Y adalah Z adalah n kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 13.)
15. Tiada kebenaran lain selain A adalah B .... Y adalah Z (kerana 13.)
16. 15. adalah proposisi benar/kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 13.)
17. Terdapat n+1 kebenaran dalam dirinya sendiri (kerana 14. dan 16.)
18. Langkah 1 hingga 5 boleh diulang untuk n+1, yang menghasilkan n+2 kebenaran dan seterusnya tanpa henti (kerana n adalah pemboleh ubah)
19. Terdapat bilangan kebenaran yang tidak terhingga dalam dirinya sendiri (kerana 18.)

Kebenaran yang diketahui mempunyai sebagai bahagiannya (Bestandteile) kebenaran dalam dirinya sendiri dan pertimbangan (Bolzano, Wissenschaftslehre §26). Pertimbangan adalah pemikiran yang menyatakan proposisi benar. Dalam membuat pertimbangan (sekurang-kurangnya apabila perkara pertimbangan adalah proposisi benar), idea objek disambungkan dalam cara tertentu dengan idea ciri (§ 23). Dalam pertimbangan benar, hubungan antara idea objek dan idea ciri adalah hubungan yang sebenar/wujud (§28). Setiap pertimbangan mempunyai sebagai perkaranya proposisi, yang sama ada benar atau palsu. Setiap pertimbangan wujud, tetapi tidak "für sich". Pertimbangan, iaitu, berbeza dengan proposisi dalam dirinya sendiri, bergantung pada aktiviti mental subjektif. Walau bagaimanapun, tidak setiap aktiviti mental perlu menjadi pertimbangan; ingat bahawa semua pertimbangan mempunyai sebagai perkara proposisi, dan oleh itu semua pertimbangan perlu sama ada benar atau palsu. Persembahan atau pemikiran semata-mata adalah contoh aktiviti mental yang tidak semestinya perlu dinyatakan (behaupten), dan oleh itu bukan pertimbangan (§ 34). Pertimbangan yang mempunyai sebagai perkaranya proposisi benar boleh dipanggil kognisi (§36). Kognisi juga bergantung pada subjek, dan oleh itu, bertentangan dengan kebenaran dalam dirinya sendiri, kognisi membenarkan darjah; sesuatu proposisi boleh lebih atau kurang diketahui, tetapi ia tidak boleh lebih atau kurang benar. Setiap kognisi secara semestinya menyiratkan pertimbangan, tetapi tidak setiap pertimbangan semestinya kognisi, kerana terdapat juga pertimbangan yang tidak benar. Bolzano berpendapat bahawa tidak ada yang namanya kognisi palsu, hanya pertimbangan palsu (§34).

5.2. Logik dan Metafizik

Selain Wissenschaftslehre, Bolzano juga menulis karya metafizik Athanasia, yang merupakan pembelaan terhadap keabadian jiwa. Sistem logik Bolzano, dengan penekanan pada konsep deduksi dan pengasasan (Abfolge), membezakan tiga alam semesta: bahasa, pemikiran, dan logik. Beliau percaya bahawa alam logik dihuni oleh objek yang tidak wujud secara fizikal, menekankan sifat objektif dan transenden bagi proposisi dan idea.

5.3. Paradoks Ketakhinggaan

Karya Bolzano yang diterbitkan selepas kematiannya, Paradoxien des Unendlichen (Paradoks Ketakhinggaan) (1851), sangat dikagumi oleh ramai ahli logik terkemuka yang datang selepasnya, termasuk Charles Sanders Peirce, Georg Cantor, dan Richard Dedekind. Karya ini mengkaji konsep ketakhinggaan dan paradoks yang berkaitan dengannya, menyumbang kepada perkembangan konsep ketakhinggaan sebenar.

6.1. Pengaruh Matematik

Dalam bidang matematik, Bolzano diingati terutamanya melalui Teorem Bolzano-Weierstrass dan Teorem Bolzano (Teorem Nilai Sederhana), yang dinamakan sempena namanya. Walaupun Karl Weierstrass membangunkan teorem Bolzano-Weierstrass secara bebas dan menerbitkannya bertahun-tahun selepas bukti pertama Bolzano, karya awal Bolzano kemudiannya ditemui semula dan diiktiraf. Kebanyakan karya matematik Bolzano kekal dalam bentuk manuskrip dan tidak banyak diedarkan, oleh itu ia mempunyai sedikit pengaruh pada perkembangan awal bidang tersebut. Walau bagaimanapun, karya-karya beliau ditemui semula oleh Otto Stolz yang menerbitkan semula banyak artikel jurnalnya yang hilang pada tahun 1881. Georg Cantor, pengasas teori set, sangat menghargai Paradoxien des Unendlichen Bolzano dan menggelar beliau sebagai "pembela muktamad" konsep ketakhinggaan sebenar.

6.2. Pengaruh Falsafah

Walaupun pada mulanya pemikiran Bolzano hanya memberi kesan kecil kepada falsafah, beliau dikelilingi oleh sekumpulan rakan dan murid yang menyebarkan pemikirannya (dikenali sebagai Lingkaran Bolzano). Karya Bolzano kemudiannya ditemui semula oleh Edmund Husserl dan Kazimierz Twardowski, kedua-duanya adalah pelajar Franz Brentano. Melalui mereka, Bolzano menjadi pengaruh formatif kepada kedua-dua fenomenologi dan falsafah analitik. Husserl, dalam karyanya Logical Investigations, memuji Bolzano sebagai "ahli logik terhebat sepanjang zaman". Alois Höfler (1853-1922), bekas pelajar Brentano dan Alexius Meinong, yang kemudian menjadi profesor pedagogi di Universiti Vienna, mencipta "hubungan yang hilang antara Lingkaran Vienna dan tradisi Bolzano di Austria."

7.1. Terjemahan dan Kompilasi

• Theory of Science (pilihan disunting dan diterjemahkan oleh Rolf George, Berkeley dan Los Angeles: University of California Press, 1972).
• Theory of Science (pilihan disunting, dengan pengenalan, oleh Jan Berg. Diterjemahkan dari bahasa Jerman oleh Burnham Terrell, Dordrecht dan Boston: D. Reidel Publishing Company, 1973).
• Theory of Science, terjemahan bahasa Inggeris lengkap pertama dalam empat jilid oleh Rolf George dan Paul Rusnock, New York: Oxford University Press, 2014.
• The Mathematical Works of Bernard Bolzano, diterjemahkan dan disunting oleh Steve Russ, New York: Oxford University Press, 2004 (dicetak semula 2006).
• On the Mathematical Method and Correspondence with Exner, diterjemahkan oleh Rolf George dan Paul Rusnock, Amsterdam: Rodopi, 2004.
• Selected Writings on Ethics and Politics, diterjemahkan oleh Rolf George dan Paul Rusnock, Amsterdam: Rodopi, 2007.
• Franz Prihonsky, The New Anti-Kant, disunting oleh Sandra Lapointe dan Clinton Tolley, New York, Palgrave Macmillan, 2014.
• Terjemahan makalah Bolzano mengenai teorem nilai sederhana oleh S. B. Russ dalam Historia Mathematica, 1980, jilid 7, isu 2, halaman 156-185. (Terjemahan Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege (Prague 1817)).