Carl Friedrich Gauss

1.5.1. Cendekiawan

Dalam dua dekad pertama abad ke-19, Gauss adalah satu-satunya ahli matematik penting di Jerman, setanding dengan ahli matematik terkemuka Perancis. Karya beliau, Disquisitiones Arithmeticae, adalah buku matematik pertama dari Jerman yang diterjemahkan ke dalam bahasa Perancis.

Gauss berada "di hadapan pembangunan baru" dengan penyelidikan yang didokumenkan sejak 1799, kekayaan idea baru, dan ketelitian demonstrasinya. Walaupun ahli matematik sebelumnya seperti Leonhard Euler membiarkan pembaca mengambil bahagian dalam penaakulan mereka untuk idea-idea baru, termasuk penyimpangan tertentu yang salah dari jalan yang betul, Gauss memperkenalkan gaya penjelasan langsung dan lengkap yang tidak cuba menunjukkan kepada pembaca proses pemikiran pengarang.

Beliau menyatakan, "Bukan pengetahuan, tetapi tindakan belajar, bukan pemilikan tetapi tindakan mencapai, yang memberikan kenikmatan terbesar. Apabila saya telah menjelaskan dan menghabiskan sesuatu subjek, maka saya beralih daripadanya, untuk masuk ke dalam kegelapan lagi."

Kertas kerja anumerta, diari saintifiknya, dan glos ringkas dalam buku teksnya sendiri menunjukkan bahawa beliau bekerja secara empirikal secara meluas. Beliau adalah seorang pengira yang sibuk dan bersemangat sepanjang hayat, yang membuat pengiraannya dengan kelajuan luar biasa, kebanyakannya tanpa kawalan yang tepat, tetapi memeriksa hasilnya dengan anggaran yang mahir. Walaupun begitu, pengiraannya tidak selalu bebas daripada kesilapan. Beliau mengatasi beban kerja yang besar dengan menggunakan alat yang mahir. Gauss banyak menggunakan jadual matematik, memeriksa ketepatannya, dan membina jadual baru mengenai pelbagai perkara untuk kegunaan peribadi. Beliau membangunkan alat baru untuk pengiraan yang berkesan, contohnya penghapusan Gauss. Telah dianggap sebagai ciri pelik gaya kerjanya bahawa beliau melakukan pengiraan dengan tahap ketepatan yang jauh lebih tinggi daripada yang diperlukan, dan menyediakan jadual dengan lebih banyak tempat perpuluhan daripada yang pernah diminta untuk tujuan praktikal. Kemungkinan besar, kaedah ini memberikannya banyak bahan yang beliau gunakan dalam mencari teorem dalam teori nombor.

Gauss enggan menerbitkan karya yang beliau anggap tidak lengkap dan tidak dapat dikritik. Perfeksionisme ini selaras dengan moto mohor peribadinya, Pauca sed Matura^{Bahasa Latin} ("Sedikit, tetapi Matang"). Ramai rakan sekerja menggalakkannya untuk mengumumkan idea-idea baru dan kadang-kadang menegurnya jika beliau terlalu lama teragak-agak, pada pendapat mereka. Gauss mempertahankan dirinya, mendakwa bahawa penemuan awal idea adalah mudah, tetapi menyediakan huraian yang boleh dipersembahkan adalah perkara yang menuntut baginya, sama ada kerana kekurangan masa atau "ketenangan fikiran". Walau bagaimanapun, beliau menerbitkan banyak komunikasi ringkas kandungan mendesak dalam pelbagai jurnal, tetapi juga meninggalkan warisan sastera yang besar. Gauss merujuk matematik sebagai "ratu sains" dan aritmetik sebagai "ratu matematik", dan kononnya pernah menganut kepercayaan akan keperluan untuk segera memahami identiti Euler sebagai penanda aras untuk menjadi ahli matematik kelas pertama.

Pada kesempatan tertentu, Gauss mendakwa bahawa idea seorang sarjana lain telah pun dimilikinya sebelum ini. Oleh itu, konsep keutamaannya sebagai "yang pertama menemui, bukan yang pertama menerbitkan" berbeza daripada rakan saintifiknya. Berbeza dengan perfeksionismenya dalam menyampaikan idea matematik, beliau dikritik kerana cara memetik yang cuai. Beliau membenarkan dirinya dengan pandangan yang sangat istimewa tentang kutipan yang betul: jika beliau memberikan rujukan, maka hanya dengan cara yang sangat lengkap, berkenaan dengan pengarang-pengarang penting sebelumnya, yang tidak seorang pun boleh mengabaikan; tetapi memetik dengan cara ini memerlukan pengetahuan tentang sejarah sains dan lebih banyak masa daripada yang beliau ingin luangkan.

1.5.2. Lelaki Persendirian

Tidak lama selepas kematian Gauss, rakannya Sartorius menerbitkan biografi pertama (1856), yang ditulis dalam gaya yang agak bersemangat. Sartorius melihatnya sebagai seorang lelaki yang tenang dan bersemangat maju dengan kesederhanaan seperti kanak-kanak, tetapi juga mempunyai "watak besi" dengan kekuatan minda yang tidak goyah. Selain daripada kalangan terdekatnya, orang lain menganggapnya sebagai seorang yang pendiam dan tidak mudah didekati "seperti seorang Olympian yang bertakhta di puncak sains." Rakan-rakan sezamannya bersetuju bahawa Gauss adalah seorang lelaki yang berwatak sukar. Beliau sering menolak untuk menerima pujian. Pelawatnya kadang-kadang jengkel dengan tingkah lakunya yang pemarah, tetapi tidak lama kemudian moodnya boleh berubah, dan beliau akan menjadi tuan rumah yang menawan dan berfikiran terbuka. Gauss membenci sifat polemik; bersama dengan rakan sekerjanya Johann Friedrich Ludwig Hausmann, beliau menentang tawaran kepada Justus Liebig untuk jawatan profesor di Göttingen, "kerana beliau sentiasa terlibat dalam beberapa polemik."

Kehidupan Gauss dibayangi oleh masalah serius dalam keluarganya. Apabila isteri pertamanya Johanna tiba-tiba meninggal dunia sejurus selepas kelahiran anak ketiga mereka, beliau meluahkan kesedihan dalam surat terakhir kepada isterinya yang telah meninggal dunia dalam gaya threnody kuno, dokumen paling peribadi Gauss yang masih ada. Situasi bertambah buruk apabila tuberkulosis akhirnya memusnahkan kesihatan isteri keduanya Minna selama lebih 13 tahun; kedua-dua anak perempuannya kemudiannya menderita penyakit yang sama. Gauss sendiri hanya memberikan sedikit petunjuk tentang kesusahannya: dalam surat kepada Bessel bertarikh Disember 1831, beliau menggambarkan dirinya sebagai "mangsa penderitaan rumah tangga yang terburuk."

Kerana penyakit isterinya, kedua-dua anak lelaki yang lebih muda dididik selama beberapa tahun di Celle, jauh dari Göttingen. Kerjaya ketenteraan anak sulungnya Joseph berakhir selepas lebih dua dekad dengan pangkat leftenan pertama yang bergaji rendah, walaupun beliau telah memperoleh pengetahuan geodetik yang ketara. Beliau memerlukan sokongan kewangan daripada bapanya walaupun selepas beliau berkahwin. Anak kedua Eugen berkongsi sebahagian besar bakat bapanya dalam pengiraan dan bahasa tetapi mempunyai watak yang lincah dan kadang-kadang memberontak. Beliau ingin belajar filologi, manakala Gauss mahu beliau menjadi peguam. Setelah berhutang dan menyebabkan skandal di khalayak ramai, Eugen tiba-tiba meninggalkan Göttingen dalam keadaan dramatik pada September 1830 dan berhijrah melalui Bremen ke Amerika Syarikat. Beliau membazirkan sedikit wang yang diambilnya untuk memulakan, selepas itu bapanya menolak sokongan kewangan selanjutnya. Anak bongsu Wilhelm ingin melayakkan diri untuk pentadbiran pertanian, tetapi mengalami kesukaran untuk mendapatkan pendidikan yang sesuai, dan akhirnya berhijrah juga. Hanya anak perempuan bongsu Gauss, Therese, menemaninya pada tahun-tahun terakhir hidupnya.

Mengumpul data numerik tentang pelbagai perkara, berguna atau tidak berguna, menjadi kebiasaan pada tahun-tahun terakhirnya, contohnya, bilangan laluan dari rumahnya ke tempat-tempat tertentu di Göttingen, atau bilangan hari hidup seseorang; beliau mengucapkan tahniah kepada Humboldt pada Disember 1851 kerana telah mencapai usia yang sama dengan Isaac Newton pada kematiannya, dikira dalam hari.

Serupa dengan pengetahuannya yang cemerlang dalam bahasa Latin, beliau juga mahir dalam bahasa-bahasa moden. Pada usia 62 tahun, beliau mula belajar sendiri bahasa Rusia, kemungkinan besar untuk memahami tulisan saintifik dari Rusia, antaranya tulisan Nikolai Lobachevsky mengenai geometri bukan Euclid. Gauss membaca sastera klasik dan moden, serta karya Inggeris dan Perancis dalam bahasa asalnya. Penulis Inggeris kegemarannya ialah Walter Scott, dan penulis Jerman kegemarannya ialah Jean Paul. Gauss suka menyanyi dan pergi ke konsert. Beliau adalah seorang pembaca surat khabar yang rajin; pada tahun-tahun terakhirnya, beliau sering mengunjungi salon akhbar akademik universiti setiap tengah hari. Gauss tidak terlalu peduli tentang falsafah, dan mengejek "pemecahan rambut ahli metafizik" yang beliau maksudkan sebagai penyokong sekolah kontemporari Naturphilosophie.

Gauss mempunyai "sifat aristokratik dan konservatif sepenuhnya", dengan sedikit rasa hormat terhadap kecerdasan dan moral orang ramai, mengikut moto "mundus vult decipi" (dunia ingin ditipu, jadi biarkan ia ditipu). Beliau tidak menyukai Napoleon dan sistemnya, dan segala jenis keganasan serta revolusi menyebabkan ketakutan baginya. Oleh itu, beliau mengutuk kaedah Revolusi 1848, walaupun beliau bersetuju dengan beberapa matlamatnya, seperti idea Jerman yang bersatu. Mengenai sistem politik, beliau mempunyai pandangan rendah terhadap sistem perlembagaan; beliau mengkritik ahli parlimen pada zamannya kerana kekurangan pengetahuan dan kesilapan logik.

Beberapa penulis biografi Gauss telah membuat spekulasi mengenai kepercayaan agamanya. Beliau kadang-kadang berkata "Tuhan mengira" dan "Saya berjaya - bukan kerana usaha keras saya, tetapi dengan rahmat Tuhan." Gauss adalah ahli Gereja Lutheran, seperti kebanyakan penduduk di utara Jerman. Nampaknya beliau tidak mempercayai semua dogma atau memahami Kitab Suci secara harfiah. Sartorius menyebut toleransi beragama Gauss, dan menganggarkan "dahaga kebenaran yang tidak pernah puas" dan rasa keadilannya sebagai didorong oleh keyakinan agama.

2.1.1. Teori Nombor

Dalam prakata Disquisitiones Arithmeticae, Gauss menyatakan bahawa permulaan kerjanya dalam teori nombor bermula pada tahun 1795. Dengan mengkaji karya ahli matematik sebelumnya seperti Fermat, Euler, Lagrange, dan Legendre, beliau menyedari bahawa sarjana-sarjana ini telah menemui banyak perkara yang beliau sendiri telah temui. Disquisitiones Arithmeticae, yang ditulis pada tahun 1798 dan diterbitkan pada tahun 1801, menyatukan teori nombor sebagai satu disiplin dan meliputi kedua-dua teori nombor asas dan teori nombor algebra. Di dalamnya beliau memperkenalkan simbol tiga palang (≡) untuk kongruen dan menggunakannya untuk persembahan yang jelas tentang aritmetik modular. Ia membincangkan teorem pemfaktoran unik dan punca primitif modulo n. Dalam bahagian utama, Gauss membentangkan dua bukti pertama bagi undang-undang salingan kuadratik dan membangunkan teori bentuk kuadratik binari dan bentuk kuadratik ternari.

Disquisitiones merangkumi undang-undang komposisi Gauss untuk bentuk kuadratik binari, serta penghitungan bilangan perwakilan integer sebagai jumlah tiga kuasa dua. Sebagai korolari hampir serta-merta dari teorem tiga kuasa duanya, beliau membuktikan kes segi tiga teorem nombor poligon Fermat untuk n = 3. Daripada beberapa hasil analitik mengenai nombor kelas yang diberikan Gauss tanpa bukti menjelang akhir bahagian kelima, nampaknya Gauss sudah mengetahui formula nombor kelas pada tahun 1801.

Dalam bahagian terakhir, Gauss memberikan bukti untuk kebolehbinaan heptadekagon biasa (poligon 17 sisi) dengan jangka lukis dan pembaris dengan mengurangkan masalah geometri ini kepada masalah algebra. Beliau menunjukkan bahawa poligon biasa boleh dibina jika bilangan sisinya sama ada kuasa 2 atau hasil darab kuasa 2 dan sebarang bilangan nombor perdana Fermat yang berbeza. Dalam bahagian yang sama, beliau memberikan hasil mengenai bilangan penyelesaian bagi polinomial kubik tertentu dengan pekali dalam medan terhingga, yang bersamaan dengan mengira titik integer pada lengkung elips. Bab kelapan yang belum selesai ditemui di antara kertas kerja yang ditinggalkan hanya selepas kematiannya, yang terdiri daripada kerja yang dilakukan antara 1797-1799.

Salah satu hasil pertama Gauss ialah konjektur yang ditemui secara empirik pada tahun 1792 - yang kemudiannya dinamakan teorem nombor perdana - memberikan anggaran bilangan nombor perdana dengan menggunakan fungsi logaritma integral.

Apabila Olbers menggalakkan Gauss pada tahun 1816 untuk bersaing mendapatkan hadiah dari Akademi Perancis mengenai bukti untuk Teorem Terakhir Fermat (FLT), beliau menolak kerana kurangnya penghargaannya terhadap perkara ini. Walau bagaimanapun, di antara karya-karya yang ditinggalkannya, sebuah kertas ringkas tanpa tarikh ditemui dengan bukti FLT untuk kes n = 3 dan n = 5. Kes khusus n = 3 telah dibuktikan lebih awal oleh Leonhard Euler, tetapi Gauss membangunkan bukti yang lebih ringkas yang menggunakan integer Eisenstein; walaupun lebih umum, bukti itu lebih mudah daripada dalam kes integer nyata.

Gauss menyumbang kepada penyelesaian konjektur Kepler pada tahun 1831 dengan bukti bahawa kepadatan pembungkusan terbesar sfera dalam ruang tiga dimensi diberikan apabila pusat-pusat sfera membentuk susunan kubik berpusat muka, apabila beliau mengulas buku Ludwig August Seeber mengenai teori pengurangan bentuk kuadratik ternari positif. Setelah menyedari beberapa kekurangan dalam bukti Seeber, beliau mempermudah banyak hujah-hujah beliau, membuktikan konjektur utama, dan menyatakan bahawa teorem ini setara dengan konjektur Kepler untuk susunan biasa.

Dalam dua kertas kerja mengenai salingan kuartik (1828, 1832), Gauss memperkenalkan gelanggang integer Gauss Z[i], menunjukkan bahawa ia adalah domain pemfaktoran unik. dan menggeneralisasikan beberapa konsep aritmetik utama, seperti teorem kecil Fermat dan lema Gauss. Objektif utama memperkenalkan gelanggang ini adalah untuk merumuskan undang-undang salingan bikudratik - seperti yang ditemui Gauss, gelanggang integer kompleks adalah tetapan semula jadi untuk undang-undang salingan yang lebih tinggi.

Dalam kertas kerja kedua, beliau menyatakan undang-undang umum salingan bikudratik dan membuktikan beberapa kes khasnya. Dalam penerbitan sebelumnya dari 1818 yang mengandungi bukti kelima dan keenam salingan kuadratik, beliau mendakwa teknik bukti-bukti ini (jumlah Gauss) boleh digunakan untuk membuktikan undang-undang salingan yang lebih tinggi.

2.1.2. Algebra

Dalam tesis kedoktorannya dari tahun 1799, Gauss membuktikan teorem asas algebra yang menyatakan bahawa setiap polinomial satu pemboleh ubah bukan malar dengan pekali kompleks mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ahli matematik termasuk Jean le Rond d'Alembert telah menghasilkan bukti palsu sebelum beliau, dan disertasi Gauss mengandungi kritikan terhadap karya d'Alembert. Beliau kemudiannya menghasilkan tiga lagi bukti, yang terakhir pada tahun 1849 secara umumnya ketat. Percubaannya menjelaskan konsep nombor kompleks dengan ketara sepanjang perjalanan.

2.1.3. Analisis

Salah satu penemuan pertama Gauss adalah konsep purata aritmetik-geometri (AGM) bagi dua nombor nyata positif. Beliau menemui hubungannya dengan integral elips pada tahun 1798-1799 melalui transformasi Landen, dan catatan diari merekodkan penemuan hubungan pemalar Gauss dengan fungsi elips lemniskat, hasil yang dinyatakan Gauss bahawa "pasti akan membuka bidang analisis yang sama sekali baru". Beliau juga membuat kemajuan awal ke dalam isu-isu yang lebih formal mengenai asas analisis kompleks, dan dari surat kepada Bessel pada tahun 1811 jelas bahawa beliau mengetahui "teorem asas analisis kompleks" - teorem integral Cauchy - dan memahami konsep residu kompleks ketika mengintegrasi di sekitar kutub.

Teorem nombor pentagon Euler, bersama-sama penyelidikan lain mengenai AGM dan fungsi lemniskat, membawanya kepada banyak hasil mengenai fungsi teta Jacobi, yang memuncak dalam penemuan pada tahun 1808 mengenai identiti hasil darab tiga Jacobi yang kemudiannya dinamakan, yang merangkumi teorem Euler sebagai kes khas. Karya-karyanya menunjukkan bahawa beliau mengetahui transformasi modular peringkat 3, 5, 7 untuk fungsi elips sejak 1808.

Beberapa serpihan matematik dalam Nachlass beliau menunjukkan bahawa beliau mengetahui sebahagian daripada teori moden bentuk modular. Dalam karyanya mengenai AGM bernilai banyak bagi dua nombor kompleks, beliau menemui hubungan mendalam antara nilai AGM yang tidak terhingga banyak dengan dua "nilai termudah"nya. Dalam tulisan-tulisan yang tidak diterbitkan, beliau mengenali dan membuat lakaran konsep utama domain asas untuk kumpulan modular. Salah satu lakaran Gauss jenis ini adalah lukisan tessellasi cakera unit oleh segitiga hiperbolik "sama sisi" dengan semua sudut sama dengan pi/4.

Contoh wawasan Gauss dalam bidang analisis adalah ulasan samar-samar bahawa prinsip pembahagian bulatan dengan jangka lukis dan pembaris juga boleh digunakan untuk pembahagian lengkung lemniskat, yang mengilhamkan teorem Abel mengenai pembahagian lemniskat. Contoh lain adalah penerbitannya "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) mengenai penentuan tanda jumlah Gauss kuadratik, di mana beliau menyelesaikan masalah utama dengan memperkenalkan q-analog pekali binomial dan memanipulasinya dengan beberapa identiti asli yang nampaknya berasal dari karyanya mengenai teori fungsi elips; walau bagaimanapun, Gauss menyusun argumennya dalam bentuk formal yang tidak mendedahkan asalnya dalam teori fungsi elips, dan hanya karya ahli matematik kemudian seperti Jacobi dan Hermite yang mendedahkan inti argumennya.

Dalam "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), beliau menyediakan rawatan sistematik pertama bagi fungsi hipergeometri umum F(alpha,beta,gamma,x), dan menunjukkan bahawa banyak fungsi yang diketahui pada masa itu adalah kes khas fungsi hipergeometri. Karya ini adalah yang pertama dengan penyelidikan tepat mengenai penumpuan siri tak terhingga dalam sejarah matematik. Tambahan pula, ia membincangkan pecahan selanjar tak terhingga yang timbul sebagai nisbah fungsi hipergeometri yang kini dipanggil pecahan selanjar Gauss.

Pada tahun 1823, Gauss memenangi hadiah Persatuan Denmark dengan esei mengenai pemetaan konformal, yang mengandungi beberapa perkembangan yang berkaitan dengan bidang analisis kompleks. Gauss menyatakan bahawa pemetaan yang memelihara sudut dalam satah kompleks mestilah fungsi analitik kompleks, dan menggunakan persamaan Beltrami yang kemudiannya dinamakan untuk membuktikan kewujudan koordinat isoterma pada permukaan analitik. Esei itu diakhiri dengan contoh pemetaan konformal ke dalam sfera dan elipsoid revolusi.

2.1.4. Analisis Numerik

Gauss sering menyimpulkan teorem secara induktif daripada data numerik yang beliau kumpulkan secara empirikal. Oleh itu, penggunaan algoritma yang cekap untuk memudahkan pengiraan adalah penting untuk penyelidikannya, dan beliau membuat banyak sumbangan kepada analisis numerik, seperti kaedah kuadratur Gauss yang diterbitkan pada tahun 1816.

Dalam surat peribadi kepada Gerling dari tahun 1823, beliau menerangkan penyelesaian sistem persamaan linear 4x4 dengan menggunakan kaedah Gauss-Seidel - kaedah lelaran "tidak langsung" untuk penyelesaian sistem linear, dan mengesyorkannya berbanding kaedah biasa "penghapusan langsung" untuk sistem lebih daripada dua persamaan.

Gauss mencipta algoritma untuk mengira apa yang kini dipanggil transformasi Fourier diskret, ketika mengira orbit Pallas dan Juno pada tahun 1805, 160 tahun sebelum James Cooley dan John Tukey menemui algoritma FFT Cooley-Tukey mereka yang serupa. Beliau mengembangkannya sebagai kaedah interpolasi trigonometri, tetapi kertas kerja Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata hanya diterbitkan secara anumerta pada tahun 1876, didahului oleh persembahan pertama oleh Joseph Fourier mengenai subjek itu pada tahun 1807.

2.1.5. Geometri

Tinjauan geodetik Hanover memupuk minat Gauss dalam geometri pembezaan dan topologi, bidang matematik yang berurusan dengan lengkung dan permukaan. Ini membawanya pada tahun 1828 kepada penerbitan memoir yang menandakan kelahiran geometri pembezaan permukaan moden, kerana ia menyimpang dari cara tradisional merawat permukaan sebagai graf Cartes fungsi dua pemboleh ubah, dan yang memulakan penerokaan permukaan dari sudut pandangan "dalaman" makhluk dua dimensi yang terhad untuk bergerak di atasnya. Hasilnya, Teorema Egregium (teorem luar biasa), menetapkan sifat konsep kelengkungan Gauss. Secara tidak formal, teorem itu menyatakan bahawa kelengkungan permukaan boleh ditentukan sepenuhnya dengan mengukur sudut dan jarak di permukaan, tanpa mengira benaman permukaan dalam ruang tiga dimensi atau dua dimensi.

Theorema Egregium membawa kepada abstraksi permukaan sebagai manifold berganda; ia menjelaskan perbezaan antara sifat intrinsik manifold (metrik) dan realisasi fizikalnya dalam ruang ambien. Akibatnya adalah kemustahilan transformasi isometrik antara permukaan kelengkungan Gauss yang berbeza. Ini bermakna secara praktikal bahawa sfera atau elipsoid tidak boleh diubah menjadi satah tanpa herotan, yang menyebabkan masalah asas dalam mereka bentuk unjuran peta untuk peta geografi. Sebahagian daripada esei ini dikhaskan untuk kajian mendalam tentang geodesik. Khususnya, Gauss membuktikan teorem Gauss-Bonnet tempatan pada segitiga geodesik, dan menggeneralisasikan teorem Legendre mengenai segitiga sfera kepada segitiga geodesik pada permukaan sewenang-wenangnya dengan kelengkungan berterusan; beliau mendapati bahawa sudut segitiga geodesik "cukup kecil" menyimpang daripada segitiga planar dengan sisi yang sama dengan cara yang bergantung hanya pada nilai kelengkungan permukaan pada bucu segitiga, tanpa mengira tingkah laku permukaan di dalam segitiga.

Memoir Gauss dari tahun 1828 tidak mempunyai konsep kelengkungan geodesik. Walau bagaimanapun, dalam manuskrip yang belum diterbitkan sebelum ini, kemungkinan besar ditulis pada tahun 1822-1825, beliau memperkenalkan istilah "kelengkungan sisi" (Jerman: "Seitenkrümmung") dan membuktikan invariannya di bawah transformasi isometrik, hasil yang kemudiannya diperoleh oleh Ferdinand Minding dan diterbitkan olehnya pada tahun 1830. Kertas Gauss ini mengandungi inti lema beliau mengenai kelengkungan keseluruhan, tetapi juga generalisasinya, yang ditemui dan dibuktikan oleh Pierre Ossian Bonnet pada tahun 1848 dan dikenali sebagai teorem Gauss-Bonnet.

2.1.6. Geometri Bukan Euclid

Sepanjang hayat Gauss, perbincangan yang rancak mengenai postulat selari dalam geometri Euclid sedang berlaku. Banyak usaha dilakukan untuk membuktikannya dalam kerangka aksiom Euclid, manakala beberapa ahli matematik membincangkan kemungkinan sistem geometri tanpanya. Gauss memikirkan asas geometri sejak tahun 1790-an, tetapi pada tahun 1810-an beliau menyedari bahawa geometri bukan Euclid tanpa postulat selari boleh menyelesaikan masalah tersebut. Dalam surat kepada Franz Taurinus pada tahun 1824, beliau membentangkan garis besar ringkas yang mudah difahami tentang apa yang beliau namakan "geometri bukan Euclid", tetapi beliau melarang keras Taurinus untuk menggunakannya. Gauss dikreditkan sebagai orang pertama yang menemui dan mengkaji geometri bukan Euclid, malah mencipta istilah tersebut.

Penerbitan pertama mengenai geometri bukan Euclid dalam sejarah matematik dikarang oleh Nikolai Lobachevsky pada tahun 1829 dan Janos Bolyai pada tahun 1832. Pada tahun-tahun berikutnya, Gauss menulis idea-ideanya mengenai topik tersebut tetapi tidak menerbitkannya, dengan itu mengelakkan mempengaruhi perbincangan saintifik kontemporari. Gauss memuji idea-idea Janos Bolyai dalam surat kepada bapanya dan rakan universiti Farkas Bolyai mendakwa bahawa ini selaras dengan pemikirannya sendiri beberapa dekad yang lalu. Walau bagaimanapun, tidak begitu jelas sejauh mana beliau mendahului Lobachevsky dan Bolyai, kerana ulasan suratnya hanya samar-samar dan tidak jelas.

Sartorius menyebut karya Gauss mengenai geometri bukan Euclid buat kali pertama pada tahun 1856, tetapi hanya edisi kertas kerja yang ditinggalkan dalam Jilid VIII Karya Terkumpul (1900) yang menunjukkan idea-idea Gauss mengenai perkara itu, pada masa geometri bukan Euclid masih berkembang daripada perbincangan kontroversi.

2.1.7. Topologi Awal

Gauss juga merupakan perintis awal topologi atau Geometria Situs, seperti yang dipanggil pada zamannya. Bukti pertama teorem asas algebra pada tahun 1799 mengandungi argumen yang pada dasarnya topologi; lima puluh tahun kemudian, beliau mengembangkan lagi argumen topologi dalam bukti keempat teorem ini.

Satu lagi pertemuan dengan konsep topologi berlaku kepadanya dalam perjalanan kerja astronominya pada tahun 1804, apabila beliau menentukan had rantau di sfera cakerawala di mana komet dan asteroid mungkin muncul, dan yang beliau namakan "Zodiacus". Beliau mendapati bahawa jika orbit Bumi dan komet terkait, maka atas sebab topologi Zodiacus adalah keseluruhan sfera. Pada tahun 1848, dalam konteks penemuan asteroid 7 Iris, beliau menerbitkan perbincangan kualitatif lanjut mengenai Zodiacus.

Dalam surat-surat Gauss dari 1820-1830, beliau berfikir secara intensif mengenai topik-topik yang mempunyai pertalian rapat dengan Geometria Situs, dan secara beransur-ansur menyedari kesukaran semantik dalam bidang ini. Serpihan dari tempoh ini mendedahkan bahawa beliau cuba mengklasifikasikan "angka jejak", iaitu lengkung satah tertutup dengan bilangan persimpangan diri melintang yang terhingga, yang juga mungkin unjuran satah simpulan. Untuk berbuat demikian, beliau mencipta skema simbolik, kod Gauss, yang dalam erti kata tertentu menangkap ciri-ciri angka jejak.

Dalam serpihan dari tahun 1833, Gauss mentakrifkan nombor pautan dua lengkung ruang dengan integral berganda tertentu, dan dengan berbuat demikian menyediakan buat kali pertama formulasi analitik fenomena topologi. Pada nota yang sama, beliau meratapi sedikit kemajuan yang dicapai dalam Geometria Situs, dan menyatakan bahawa salah satu masalah utamanya adalah "untuk mengira jalinan dua lengkung tertutup atau tak terhingga". Buku notanya dari tempoh itu mendedahkan bahawa beliau juga memikirkan objek topologi lain seperti jalinan dan kusut.

Pengaruh Gauss pada tahun-tahun kemudian kepada bidang topologi yang baru muncul, yang beliau sangat hargai, adalah melalui ulasan sesekali dan komunikasi lisan kepada Mobius dan Listing.

2.1.8. Pencapaian Matematik Minor

Gauss menggunakan konsep nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah yang terkenal dengan cara baru yang ringkas. Sebagai contoh, dalam nota ringkas dari tahun 1836 mengenai aspek geometri bentuk ternari dan aplikasinya kepada kristalografi, beliau menyatakan teorem asas aksonometri, yang memberitahu bagaimana untuk mewakili kiub 3D pada satah 2D dengan ketepatan lengkap, melalui nombor kompleks. Beliau menerangkan putaran sfera ini sebagai tindakan transformasi pecahan linear tertentu pada satah kompleks yang diperluaskan, dan memberikan bukti untuk teorem geometri bahawa altitud segitiga sentiasa bertemu di satu ortopusat.

Gauss telah prihatin dengan "Pentagramma mirificum" John Napier - sebuah pentagram sfera tertentu - selama beberapa dekad; beliau mendekatinya dari pelbagai sudut pandang, dan secara beransur-ansur memperoleh pemahaman penuh tentang aspek geometri, algebra, dan analitiknya. Khususnya, pada tahun 1843 beliau menyatakan dan membuktikan beberapa teorem yang menghubungkan fungsi elips, pentagon sfera Napier, dan pentagon Poncelet dalam satah.

Tambahan pula, beliau menyumbang penyelesaian kepada masalah pembinaan elips kawasan terbesar di dalam sisi empat yang diberikan, dan menemui hasil yang mengejutkan mengenai pengiraan luas pentagon.

2.1.9. Teori Ralat

Gauss kemungkinan besar menggunakan kaedah kuasa dua terkecil untuk mengira orbit Ceres bagi meminimumkan kesan ralat pengukuran. Kaedah ini pertama kali diterbitkan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1805, tetapi Gauss mendakwa dalam Theoria motus (1809) bahawa beliau telah menggunakannya sejak tahun 1794 atau 1795. Dalam sejarah statistik, perselisihan ini dipanggil "pertikaian keutamaan mengenai penemuan kaedah kuasa dua terkecil". Gauss membuktikan bahawa kaedah ini mempunyai varians persampelan terendah dalam kelas anggaran tak berat sebelah linear di bawah andaian ralat taburan normal (teorem Gauss-Markov), dalam kertas kerja dua bahagian Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823).

Dalam kertas kerja pertama, beliau membuktikan ketaksamaan Gauss (ketaksamaan jenis Chebyshev) untuk taburan unimodal, dan menyatakan tanpa bukti ketaksamaan lain untuk momen peringkat keempat (kes khas ketaksamaan Gauss-Winckler). Beliau memperoleh batas bawah dan atas untuk varians varians sampel. Dalam kertas kerja kedua, Gauss menerangkan kaedah kuasa dua terkecil rekursif. Karya beliau mengenai teori ralat diperluaskan dalam beberapa arah oleh ahli geodesi Friedrich Robert Helmert kepada model Gauss-Helmert.

Gauss juga menyumbang kepada masalah dalam teori kebarangkalian yang tidak berkaitan secara langsung dengan teori ralat. Satu contoh muncul sebagai nota diari di mana beliau cuba menerangkan taburan asimptotik entri dalam pengembangan pecahan selanjar bagi nombor rawak yang diedarkan secara seragam dalam (0,1). Beliau memperoleh taburan ini, kini dikenali sebagai taburan Gauss-Kuzmin, sebagai hasil sampingan penemuan ergodisiti pemetaan Gauss untuk pecahan selanjar. Penyelesaian Gauss adalah hasil pertama dalam teori metrik pecahan selanjar.

2.3.1. Geomagnetisme

Gauss telah berminat dalam magnetisme sejak tahun 1803. Selepas Alexander von Humboldt melawat Göttingen pada tahun 1826, kedua-dua saintis itu memulakan penyelidikan intensif mengenai geomagnetisme, sebahagiannya secara bebas, sebahagiannya dalam kerjasama yang produktif. Pada tahun 1828, Gauss adalah tetamu Humboldt semasa persidangan Persatuan Saintis dan Doktor Semula Jadi Jerman di Berlin, di mana beliau berkenalan dengan ahli fizik Wilhelm Eduard Weber.

Apabila Weber mendapat jawatan profesor fizik di Göttingen sebagai pengganti Johann Tobias Mayer atas cadangan Gauss pada tahun 1831, kedua-duanya memulakan kerjasama yang membuahkan hasil, membawa kepada pengetahuan baru mengenai magnetisme dengan perwakilan unit magnetisme dalam bentuk jisim, cas, dan masa. Mereka mengasaskan Persatuan Magnetik (Jerman: Magnetischer Verein), sebuah kumpulan kerja antarabangsa beberapa balai cerap, yang menyokong pengukuran medan magnet bumi di banyak wilayah di dunia dengan kaedah yang sama pada tarikh yang diatur antara tahun 1836 hingga 1841.

Pada tahun 1836, Humboldt mencadangkan penubuhan rangkaian stesen geomagnetik di seluruh dunia di Dominion British dengan surat kepada Putera Augustus Frederick, Duke of Sussex, yang ketika itu presiden Royal Society; beliau mencadangkan agar pengukuran magnetik dilakukan di bawah keadaan piawai menggunakan kaedahnya. Bersama-sama dengan pencetus lain, ini membawa kepada program global yang dikenali sebagai "Perang Salib Magnetik" di bawah arahan Edward Sabine. Tarikh, masa, dan selang pemerhatian ditentukan terlebih dahulu, waktu purata Göttingen digunakan sebagai piawaian. 61 stesen di kelima-lima benua mengambil bahagian dalam program global ini. Gauss dan Weber mengasaskan siri untuk penerbitan hasil, enam jilid telah disunting antara 1837 dan 1843. Pemergian Weber ke Universiti Leipzig pada tahun 1843 sebagai kesan lewat peristiwa Tujuh Göttingen menandakan berakhirnya aktiviti Persatuan Magnetik.

Mengikuti contoh Humboldt, Gauss mengarahkan sebuah balai cerap magnetik dibina di taman balai cerap, tetapi para saintis berbeza pendapat mengenai peralatan instrumen; Gauss lebih suka instrumen pegun, yang beliau fikir akan memberikan hasil yang lebih tepat, manakala Humboldt terbiasa dengan instrumen bergerak. Gauss berminat dengan variasi temporal dan spatial deklinasi magnetik, kecondongan magnetik, dan keamatan magnetik, tetapi membezakan konsep keamatan magnetik Humboldt kepada istilah keamatan "mendatar" dan "menegak". Bersama-sama dengan Weber, beliau membangunkan kaedah mengukur komponen keamatan medan magnet dan membina magnetometer yang sesuai untuk mengukur nilai mutlak kekuatan medan magnet Bumi, bukan lagi nilai relatif yang bergantung pada alat. Ketepatan magnetometer adalah kira-kira sepuluh kali lebih tinggi daripada instrumen sebelumnya. Dengan kerja ini, Gauss adalah yang pertama memperoleh kuantiti bukan mekanikal dengan kuantiti mekanikal asas.

Gauss menjalankan Teori Umum Magnetisme Terestrial (1839), di mana beliau percaya dapat menerangkan sifat daya magnetik; menurut Felix Klein, karya ini adalah persembahan pemerhatian dengan menggunakan harmonik sfera dan bukannya teori fizikal. Teori ini meramalkan kewujudan tepat dua kutub magnet di Bumi, dengan itu idea Christopher Hansteen tentang empat kutub magnet menjadi usang, dan data membolehkan untuk menentukan lokasi mereka dengan ketepatan yang agak baik.

Gauss mempengaruhi permulaan geofizik di Rusia, apabila Adolph Theodor Kupffer, salah seorang bekas pelajarnya, mengasaskan sebuah balai cerap magnetik di Saint Petersburg, mengikut contoh balai cerap di Göttingen, dan begitu juga, Ivan Simonov di Kazan.

2.3.2. Elektromagnetisme

Penemuan Hans Christian Ørsted mengenai elektromagnetisme dan Michael Faraday mengenai aruhan elektromagnet menarik perhatian Gauss kepada perkara ini. Gauss dan Weber menemui peraturan untuk litar elektrik bercabang, yang kemudiannya ditemui secara bebas dan pertama kali diterbitkan oleh Gustav Kirchhoff dan dinamakan sempena beliau sebagai undang-undang litar Kirchhoff, dan membuat pertanyaan mengenai elektromagnetisme. Mereka membina telegraf elektrik elektromagnetik pertama pada tahun 1833, dan Weber sendiri menyambungkan balai cerap dengan institut fizik di pusat bandar Göttingen, tetapi mereka tidak peduli untuk pembangunan selanjutnya ciptaan ini untuk tujuan komersial.

Minat teoritikal utama Gauss dalam elektromagnetisme tercermin dalam percubaannya untuk merumuskan undang-undang kuantitatif yang mengawal aruhan elektromagnet. Dalam buku nota dari tahun-tahun ini, beliau merekodkan beberapa formulasi inovatif; beliau menemui idea fungsi potensi vektor (ditemui semula secara bebas oleh Franz Ernst Neumann pada tahun 1845), dan pada Januari 1835 beliau menulis "undang-undang aruhan" yang setara dengan undang-undang Faraday, yang menyatakan bahawa daya gerak elektrik pada titik tertentu dalam ruang adalah sama dengan kadar perubahan serta-merta (berbanding masa) fungsi ini.

Gauss cuba mencari undang-undang penyatuan untuk kesan jarak jauh elektrostatik, elektrodinamik, elektromagnetisme, dan aruhan elektrik, setanding dengan undang-undang graviti Newton, tetapi percubaannya berakhir dengan "kegagalan tragis."

2.3.3. Teori Potensial

Sejak Isaac Newton menunjukkan secara teori bahawa Bumi dan bintang berputar mengambil bentuk bukan sfera, masalah tarikan elipsoid menjadi penting dalam astronomi matematik. Dalam penerbitan pertamanya mengenai teori potensi, "Theoria attractionis..." (1813), Gauss menyediakan ungkapan bentuk tertutup kepada tarikan graviti elipsoid triaksial homogen pada setiap titik dalam ruang. Berbeza dengan penyelidikan sebelumnya oleh Colin Maclaurin, Laplace dan Lagrange, penyelesaian baru Gauss merawat tarikan secara lebih langsung dalam bentuk integral elips. Dalam proses itu, beliau juga membuktikan dan menggunakan beberapa kes khas teorem Gauss dalam analisis vektor.

Dalam General theorems concerning the attractive and repulsive forces acting in reciprocal proportions of quadratic distances (1840), Gauss memberikan asas teori potensi magnetik, berdasarkan Lagrange, Laplace, dan Poisson; nampaknya tidak mungkin beliau mengetahui karya-karya sebelumnya George Green mengenai subjek ini. Walau bagaimanapun, Gauss tidak pernah dapat memberikan sebarang sebab untuk magnetisme, mahupun teori magnetisme yang serupa dengan karya Newton mengenai graviti, yang membolehkan saintis meramalkan kesan geomagnetik pada masa hadapan.

2.3.4. Optik

Pengiraan Gauss membolehkan pembuat instrumen Johann Georg Repsold di Hamburg membina sistem kanta akromatik baru pada tahun 1810. Masalah utama, antara kesukaran lain, adalah pengetahuan yang tidak tepat mengenai indeks biasan dan penyebaran jenis kaca yang digunakan. Dalam artikel ringkas dari tahun 1817, Gauss membincangkan masalah penghapusan aberasi kromatik dalam kanta berganda, dan mengira pelarasan bentuk dan pekali biasan yang diperlukan untuk meminimumkannya. Karyanya dicatat oleh ahli optik Carl August von Steinheil, yang pada tahun 1860 memperkenalkan dublet Steinheil akromatik, sebahagiannya berdasarkan pengiraan Gauss. Banyak hasil dalam optik geometri hanya tersebar dalam surat-menyurat dan nota tangan Gauss.

Dalam Dioptrical Investigations (1840), Gauss memberikan analisis sistematik pertama mengenai pembentukan imej di bawah penghampiran paraksial (optik Gauss). Beliau mencirikan sistem optik di bawah penghampiran paraksial hanya dengan titik kardinalnya, dan beliau memperoleh formula kanta Gauss, yang boleh digunakan tanpa sekatan berkenaan dengan ketebalan kanta.

2.3.5. Mekanik

Urusan pertama Gauss dalam mekanik adalah mengenai putaran bumi. Apabila rakan universiti beliau Johann Benzenberg menjalankan eksperimen untuk menentukan sisihan jisim jatuh dari tegak lurus pada tahun 1802, yang kini dikenali sebagai kesan daya Coriolis, beliau meminta Gauss untuk pengiraan berasaskan teori nilai-nilai untuk perbandingan dengan yang eksperimen. Gauss menghuraikan sistem persamaan asas untuk gerakan, dan hasilnya sepadan dengan data Benzenberg, yang menambah pertimbangan Gauss sebagai lampiran kepada bukunya mengenai eksperimen jatuh.

Selepas Léon Foucault menunjukkan putaran bumi dengan pendulumnya secara terbuka pada tahun 1851, Gerling menyoal Gauss untuk penjelasan lanjut. Ini mendorong Gauss untuk mereka bentuk alat baru untuk demonstrasi dengan panjang pendulum yang jauh lebih pendek daripada pendulum Foucault. Ayunan diperhatikan dengan teleskop bacaan, dengan skala menegak dan cermin yang dipasang pada pendulum. Ia diterangkan dalam surat-menyurat Gauss-Gerling dan Weber membuat beberapa eksperimen dengan alat ini pada tahun 1853, tetapi tiada data diterbitkan.

Prinsip kekangan terkecil Gauss pada tahun 1829 telah ditetapkan sebagai konsep umum untuk mengatasi pembahagian mekanik kepada statik dan dinamik, menggabungkan prinsip D'Alembert dengan prinsip kerja maya Lagrange, dan menunjukkan analogi kepada kaedah kuasa dua terkecil.

2.3.6. Metrologi

Pada tahun 1828, Gauss dilantik sebagai ketua Lembaga untuk berat dan ukuran Kerajaan Hanover. Beliau menyediakan penciptaan piawaian panjang dan ukuran. Gauss sendiri menguruskan ukuran yang memakan masa dan memberikan arahan terperinci untuk penyediaan mekanikal. Dalam surat-menyurat dengan Schumacher, yang juga bekerja dalam perkara ini, beliau menerangkan idea-idea baru untuk skala berketepatan tinggi. Beliau menyerahkan laporan akhir mengenai kaki dan paun Hanoverian kepada kerajaan pada tahun 1841. Kerja ini mendapat lebih daripada kepentingan serantau melalui perintah undang-undang 1836 yang menghubungkan ukuran Hanoverian dengan ukuran Inggeris.