Omar Khayyam

1.1. Kelahiran dan Latar Belakang

Omar Khayyam dilahirkan pada 18 Mei 1048 di Nishapur, sebuah metropolis utama di wilayah Khorasan, Parsi. Nama penuhnya, seperti yang terdapat dalam sumber-sumber Arab, ialah Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. Gelaran "Khayyam" yang bermaksud 'pembuat khemah' dalam Bahasa Arab, dipercayai berasal daripada pekerjaan nenek moyangnya. Beliau hidup semasa pemerintahan Kesultanan Seljuk Raya dan sezaman dengan Perang Salib Pertama. Sejarawan Bayhaqi, yang mengenali Khayyam secara peribadi, memberikan butiran lengkap tentang horoskopnya: "beliau adalah Gemini, matahari dan Utarid berada di atas...", yang digunakan oleh para sarjana moden untuk menetapkan tarikh kelahirannya. Nishapur sendiri pada waktu itu adalah pusat utama bagi agama Zoroastrianisme.

1.2. Pendidikan

Khayyam menghabiskan zaman kanak-kanaknya di Nishapur. Bakatnya dikenal pasti oleh guru-guru awalnya yang menghantarnya belajar di bawah Imam Muwaffaq Nishaburi, guru terhebat di wilayah Khorasan, yang mengajar anak-anak bangsawan tertinggi. Khayyam membentuk persahabatan yang kukuh dengan Imam tersebut sepanjang tahun. Beliau juga mungkin bertemu dan belajar dengan Bahmanyar, seorang anak murid Avicenna. Setelah menamatkan pengajian dalam sains, falsafah, matematik, dan astronomi di Nishapur, beliau meneruskan perjalanan intelektualnya.

Dalam satu cerita rakyat yang terkenal, Khayyam dikatakan bersahabat dengan dua lagi pelajar cemerlang di bawah Imam Muwaffaq Nishaburi: Nizam al-Mulk, yang kemudian menjadi Wazir Besar kepada dua penguasa Seljuk, dan Hassan-i-Sabah, ketua Hashshashin yang misteri. Mereka bertiga kononnya mengikat janji untuk berkongsi tuah jika salah seorang daripada mereka mencapai kejayaan. Apabila Nizam al-Mulk menjadi wazir, Hassan-i-Sabah dikatakan meminta jawatan tinggi kerajaan, tetapi ambisinya menyebabkan kejatuhan. Khayyam pula, dengan sikap yang lebih sederhana, hanya meminta tempat untuk mendiami, mengkaji sains, dan bersembahyang, serta dianugerahkan pencen tahunan sebanyak 1200 mithkal emas dari perbendaharaan Nishapur. Walau bagaimanapun, kisah "Tiga Rakan Sekolah" ini dianggap sebagai anekdot dan tidak disahkan secara sejarah, terutamanya kerana perbezaan usia yang signifikan antara mereka.

1.3. Kerjaya Awal dan Aktiviti

Sekitar tahun 1068, Khayyam mengembara ke wilayah Bukhara, di mana beliau sering mengunjungi perpustakaan terkenal Ark Bukhara. Sekitar tahun 1070, beliau berpindah ke Samarkand dan mula mengarang Risalah Mengenai Algebra di bawah naungan Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, gabenor dan ketua hakim bandar itu. Khayyam diterima dengan baik oleh pemerintah Karakhanid, Shams al-Mulk Nasr, yang menurut Bayhaqi, "akan menunjukkan penghormatan terbesar kepadanya, sehingga beliau akan mendudukkan [Khayyam] di sampingnya di atas singgahsana beliau."

1.4. Perkhidmatan di Bawah Dinasti Seljuk

Pada tahun 1073-1074, keamanan dicapai dengan Sultan Malik-Shah I. Khayyam memasuki perkhidmatan Malik-Shah pada tahun 1074 setelah dijemput oleh Wazir Besar Nizam al-Mulk untuk bertemu Malik-Shah di bandar Marv. Khayyam kemudian ditugaskan untuk menubuhkan sebuah balai cerap di Isfahan dan memimpin sekumpulan saintis untuk melakukan pemerhatian astronomi yang tepat bagi tujuan menyemak kalendar Parsi. Projek ini bermula dengan pembukaan balai cerap pada tahun 1074 dan berakhir pada tahun 1079, apabila Omar Khayyam dan rakan-rakannya menyelesaikan pengukuran panjang tahun, melaporkannya sebagai 365.24219858156 hari. Memandangkan panjang tahun berubah pada tempat perpuluhan keenam sepanjang hayat seseorang, ketepatan ini amat luar biasa. Sebagai perbandingan, panjang tahun pada akhir abad ke-19 ialah 365.242196 hari, manakala hari ini ialah 365.242190 hari.

1.5. Haji dan Perjalanan

Selepas kematian Malik-Shah dan wazirnya (dipercayai dibunuh oleh Ismaili order of Assassins), kedudukan Khayyam di istana merosot. Akibatnya, beliau segera berangkat menunaikan ibadah haji ke Mekah. Satu kemungkinan motif tersembunyi untuk perjalanannya ini, seperti yang dilaporkan oleh Al-Qifti, adalah untuk menunjukkan keimanannya secara terbuka bagi meredakan kecurigaan skeptisisme dan menangkis tuduhan tidak ortodoks (termasuk kemungkinan simpati atau kepatuhan kepada Zoroastrianisme) yang dilemparkan kepadanya oleh golongan ulama yang bermusuhan. Selepas itu, beliau dijemput oleh Sultan Sanjar yang baru ke Marv, mungkin untuk bekerja sebagai ahli nujum istana.

1.6. Tahun Akhir dan Kematian

Khayyam kemudian dibenarkan pulang ke Nishapur kerana kesihatannya yang merosot. Setelah kembali, beliau dikatakan menjalani kehidupan sebagai seorang pertapa. Omar Khayyam meninggal dunia pada usia 83 tahun di kampung halamannya Nishapur pada 4 Disember 1131. Salah seorang anak muridnya, Nizami Aruzi, menceritakan bahawa sekitar tahun 1112-1113, Khayyam berada di Balkh bersama-sama dengan Al-Isfizari (salah seorang saintis yang bekerjasama dengannya dalam kalendar Jalali) apabila beliau membuat ramalan bahawa "makamku akan berada di tempat di mana angin utara mungkin menaburkan mawar di atasnya".

1.7. Makam

Empat tahun selepas kematiannya, Aruzi menemui makam Khayyam di sebuah tanah perkuburan di Nishapur, di jalan menuju Marv. Seperti yang diramalkan oleh Khayyam, Aruzi mendapati makam itu terletak di kaki tembok taman di mana pokok pir dan aprikot telah mengeluarkan dahan dan menggugurkan bunganya sehingga batu nisannya tersembunyi di bawahnya. Bentuk seni bina keramatnya pula direka menyerupai sebuah khemah, simbolik kepada gelaran "pembuat khemah" beliau. Sebahagian daripada puisi Rubaiyatnya diukir pada dinding luar makam beliau sebagai hiasan kaligrafi. Makam ini terletak di sebuah taman bunga yang juga menempatkan Masjid Imamzadeh Mahroq, kira-kira 100 m dari makamnya.

2.1. Aljabar Geometri dan Penyelesaian Persamaan Kubik

Khayyam dianggap sebagai pelopor geometri analitik, mendahului René Descartes, kerana pendekatan geometrinya yang menyeluruh terhadap persamaan aljabar. Dalam Risalah Mengenai Pembahagian Kuadran Bulatan, Khayyam mengaplikasikan algebra kepada geometri. Beliau meneliti sama ada mungkin untuk membahagikan kuadran bulatan kepada dua bahagian supaya segmen garis yang dipancarkan dari titik pembahagian ke diameter serenjang bulatan membentuk nisbah tertentu. Penyelesaiannya menggunakan beberapa pembinaan lengkungan yang membawa kepada persamaan yang mengandungi sebutan kubik dan kuadratik.

Khayyam nampaknya merupakan orang pertama yang mengkonsepsikan teori umum persamaan kubik, dan yang pertama menyelesaikan secara geometri setiap jenis persamaan kubik, setakat punca positif. Risalah Mengenai Algebra mengandungi karyanya mengenai persamaan kubik, yang dibahagikan kepada tiga bahagian: (i) persamaan yang boleh diselesaikan dengan jangka lukis dan pembaris lurus, (ii) persamaan yang boleh diselesaikan melalui keratan kon, dan (iii) persamaan yang melibatkan songsangan pendaraban anu.

Beliau menghasilkan senarai lengkap semua persamaan yang mungkin melibatkan garis, kuasa dua, dan kuasa tiga. Beliau mempertimbangkan tiga persamaan binomial, sembilan persamaan trinomial, dan tujuh persamaan tetranomial. Untuk polinomial darjah pertama dan kedua, beliau menyediakan penyelesaian berangka melalui pembinaan geometri. Beliau menyimpulkan bahawa terdapat empat belas jenis kubik yang berbeza yang tidak boleh dikurangkan kepada persamaan darjah yang lebih rendah. Untuk ini, beliau tidak dapat menyelesaikan pembinaan segmen anu beliau dengan jangka lukis dan pembaris lurus. Beliau meneruskan dengan membentangkan penyelesaian geometri untuk semua jenis persamaan kubik menggunakan sifat-sifat keratan kon. Punca positif persamaan kubik ditentukan sebagai abskisa titik persilangan dua keratan kon, contohnya, persilangan dua parabola, atau persilangan parabola dan bulatan. Namun, beliau mengakui bahawa masalah aritmetik kubik ini masih belum diselesaikan, menambah bahawa "mungkin orang lain akan mengetahuinya selepas kita". Tugas ini kekal terbuka sehingga abad ke-16, apabila penyelesaian aljabar persamaan kubik ditemui secara umum oleh Cardano, Del Ferro, dan Tartaglia dalam Renaissance Itali.

Karya Khayyam ini pada dasarnya adalah usaha untuk menyatukan algebra dan geometri. Penyelesaian geometri persamaan kubik ini kemudian dikaji lebih lanjut oleh M. Hachtroudi dan dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan darjah keempat. Walaupun kaedah serupa telah muncul secara sporadis sejak Menaechmus, dan dikembangkan lebih lanjut oleh ahli matematik abad ke-10 Abu al-Jud, karya Khayyam boleh dianggap sebagai kajian sistematik pertama dan kaedah tepat pertama untuk menyelesaikan persamaan kubik. Ahli matematik Franz Woepcke (1851) yang menterjemahkan algebra Khayyam ke dalam bahasa Perancis memuji beliau atas "kuasa generalisasi dan prosedur sistematik yang ketat."

2.2. Teori Selari

Sebahagian daripada Ulasan Mengenai Kesukaran Berkaitan Postulat Elemen Euclid karya Khayyam membincangkan aksiom selari. Risalah Khayyam ini boleh dianggap sebagai perbincangan pertama mengenai aksiom tersebut yang tidak berdasarkan petitio principii, tetapi pada postulat yang lebih intuitif. Khayyam menolak percubaan sebelumnya oleh ahli matematik lain untuk 'membuktikan' proposisi tersebut, terutamanya dengan alasan bahawa setiap daripada mereka telah mempostulatkan sesuatu yang sama sekali tidak lebih mudah diterima daripada Postulat Kelima itu sendiri. Berdasarkan pandangan Aristotle, beliau menolak penggunaan gerakan dalam geometri dan dengan itu menolak percubaan yang berbeza oleh Ibn al-Haytham. Tidak berpuas hati dengan kegagalan ahli matematik untuk membuktikan pernyataan Euclid dari postulatnya yang lain, Khayyam cuba menghubungkan aksiom tersebut dengan Postulat Keempat, yang menyatakan bahawa semua sudut tegak adalah sama antara satu sama lain.

Khayyam adalah orang pertama yang mempertimbangkan tiga kes berbeza iaitu sudut tirus, sudut cakah, dan sudut tegak untuk sudut puncak bagi segi empat Khayyam-Saccheri. Setelah membuktikan beberapa teorem mengenainya, beliau menunjukkan bahawa Postulat V berasal daripada hipotesis sudut tegak, dan menolak kes sudut tirus dan cakah sebagai percanggahan diri. Percubaan beliau yang terperinci untuk membuktikan postulat selari adalah penting untuk perkembangan geometri selanjutnya, kerana ia jelas menunjukkan kemungkinan adanya geometri bukan Euclid. Hipotesis sudut tirus, cakah, dan tegak kini diketahui masing-masing membawa kepada geometri bukan Euclid geometri hiperbola Gauss-Bolyai-Lobachevsky, kepada geometri Riemann, dan kepada geometri Euclid.

Ulasan Tusi mengenai perlakuan Khayyam terhadap garis selari sampai ke Eropah. John Wallis, profesor geometri di Universiti Oxford, menterjemahkan ulasan Tusi ke dalam bahasa Latin. Ahli geometri Jesuit Girolamo Saccheri, yang karyanya (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) umumnya dianggap sebagai langkah pertama dalam perkembangan geometri bukan Euclid, mengenali karya Wallis. Sejarawan matematik Amerika David Eugene Smith menyatakan bahawa Saccheri "menggunakan lemma yang sama seperti Tusi, malah melabelkan rajah dengan cara yang sama dan menggunakan lemma untuk tujuan yang sama". Beliau selanjutnya mengatakan bahawa "Tusi jelas menyatakan ia adalah hasil Omar Khayyam, dan dari teks, nampaknya jelas bahawa beliau adalah ilhamnya."

2.3. Konsep Nombor Nyata

Risalah mengenai Euclid ini mengandungi satu lagi sumbangan yang berkaitan dengan teori perkadaran dan penggabungan nisbah. Khayyam membincangkan hubungan antara konsep nisbah dan konsep nombor serta secara eksplisit menimbulkan pelbagai kesulitan teori. Khususnya, beliau menyumbang kepada kajian teori konsep nombor tak nisbah. Tidak berpuas hati dengan definisi nisbah yang sama oleh Euclid, beliau mendefinisikan semula konsep nombor dengan menggunakan pecahan berlanjutan sebagai cara untuk menyatakan nisbah. Youschkevitch dan Rosenfeld berpendapat bahawa "dengan meletakkan kuantiti tak nisbah dan nombor pada skala operasi yang sama, [Khayyam] memulakan revolusi sebenar dalam doktrin nombor." Begitu juga, D. J. Struik menyatakan bahawa Omar "sedang menuju ke arah perluasan konsep nombor yang membawa kepada tanggapan nombor nyata."

2.4. Teorem Binomial dan Pengekstrakan Punca

Dalam risalah aljabar beliau, Khayyam merujuk kepada sebuah buku yang telah ditulisnya mengenai pengekstrakan punca ke-n nombor asli menggunakan hukum yang ditemuinya yang tidak bergantung kepada rajah geometri. Buku ini kemungkinan besar bertajuk Kesukaran Aritmetik (Mushkilāt al-Ḥisāb_{Mushkilat al-Hisab}^{Bahasa Arab}), dan tidak lagi wujud. Berdasarkan konteksnya, beberapa sejarawan matematik seperti D. J. Struik, percaya bahawa Omar pasti mengetahui formula untuk pengembangan binomial (a+b)ⁿ, di mana n ialah integer positif. Kes kuasa 2 dinyatakan secara eksplisit dalam elemen Euclid dan kes kuasa paling banyak 3 telah ditetapkan oleh ahli matematik India. Khayyam ialah ahli matematik yang menyedari kepentingan teorem binomial umum. Hujah yang menyokong dakwaan bahawa Khayyam mempunyai teorem binomial umum adalah berdasarkan keupayaannya untuk mengekstrak punca. Salah seorang pendahulu Khayyam, Al-Karaji, telah menemui susunan segi tiga bagi pekali pengembangan binomial yang kemudian dikenali oleh orang Eropah sebagai segi tiga Pascal; Khayyam mempopularkan susunan segi tiga ini di Iran, sehingga kini ia dikenali sebagai segi tiga Omar Khayyam.

3.1. Kalendar Jalali

Pada tahun 1074-1075, Omar Khayyam telah ditugaskan oleh Sultan Malik-Shah I untuk membina sebuah balai cerap di Isfahan dan melakukan pembaharuan kalendar Parsi. Sekumpulan lapan orang sarjana bekerja di bawah arahan Khayyam untuk melakukan pemerhatian astronomi berskala besar dan menyemak jadual astronomi. Penentukuran semula kalendar menetapkan hari pertama tahun pada saat tepat apabila pusat Matahari melintasi ekuinoks vernal. Ini menandakan permulaan musim bunga atau Nowruz, hari di mana Matahari memasuki darjah pertama Aries sebelum tengah hari.

Kalendar yang terhasil dinamakan Kalendar Jalali sebagai penghormatan kepada Malik-Shah, dan telah dirasmikan pada 15 Mac 1079. Balai cerap itu sendiri tidak lagi digunakan selepas kematian Malik-Shah pada tahun 1092. Kalendar Jalali adalah kalendar suria yang sebenar di mana tempoh setiap bulan adalah sama dengan masa lintasan Matahari merentasi zodiak yang sepadan. Pembaharuan kalendar memperkenalkan kitaran interkalasi 33 tahun yang unik. Seperti yang ditunjukkan oleh karya-karya Khazini, kumpulan Khayyam melaksanakan sistem interkalasi berdasarkan tahun lompat empat tahun sekali dan lima tahun sekali. Oleh itu, kalendar tersebut terdiri daripada 25 tahun biasa yang mengandungi 365 hari, dan 8 tahun lompat yang mengandungi 366 hari.

Kalendar ini kekal digunakan di seluruh Iran Raya dari abad ke-11 hingga abad ke-20. Pada tahun 1911, Kalendar Jalali menjadi kalendar kebangsaan rasmi Qajar Iran. Pada tahun 1925, kalendar ini dipermudahkan dan nama-nama bulan dimodenkan, menghasilkan kalendar Iran moden. Kalendar Jalali lebih tepat daripada kalendar Gregorius tahun 1582, dengan ralat satu hari terkumpul melebihi 5,000 tahun, berbanding satu hari setiap 3,330 tahun dalam kalendar Gregorius. Moritz Cantor menganggapnya sebagai kalendar paling sempurna yang pernah dicipta.

3.2. Pemerhatian Astronomi

Salah seorang muridnya, Nizami Aruzi, menceritakan bahawa Khayyam nampaknya tidak mempunyai kepercayaan terhadap astrologi dan tilikan: "Saya tidak melihat bahawa beliau (yakni Omar Khayyam) mempunyai kepercayaan besar terhadap ramalan astrologi, dan saya juga tidak pernah melihat atau mendengar mana-mana [saintis] besar yang mempunyai kepercayaan sedemikian." Walaupun bekerja untuk Sultan Sanjar sebagai ahli nujum, beliau diminta meramal cuaca - satu pekerjaan yang nampaknya tidak dilakukannya dengan baik. George Saliba menjelaskan bahawa istilah 'ilm al-nujūm_{ilm al-nujum}^{Bahasa Arab}, yang digunakan dalam pelbagai sumber di mana rujukan kepada kehidupan dan kerja Khayyam boleh ditemui, kadang-kadang telah diterjemahkan secara tidak tepat bermaksud astrologi. Beliau menambah: "sekurang-kurangnya dari pertengahan abad ke-10, menurut Farabi dalam Penomboran Sains, bahawa sains ini, 'ilm al-nujūm_{ilm al-nujum}^{Bahasa Arab}, sudah terbahagi kepada dua bahagian, satu berkaitan dengan astrologi dan satu lagi dengan astronomi matematik teoritis." Khayyam juga dilaporkan telah mencipta peta bintang (yang kini telah hilang). Beliau bahkan mendemonstrasikan kepada Imam Ghazali bahawa alam semesta tidak bergerak mengelilingi Bumi seperti yang dipercayai pada masa itu; sebaliknya, beliau menunjukkan bahawa Bumi berputar pada paksinya sendiri, membawa kepada penglihatan pelbagai buruj. Beliau juga memperincikan bahawa bintang-bintang adalah objek pegun di angkasa dan jika ia bergerak mengelilingi Bumi, ia akan terbakar menjadi bara akibat jisimnya yang besar.

4.1. Rubaiyat

Terdapat tradisi mengaitkan puisi kepada Omar Khayyam, yang ditulis dalam bentuk kuatrain (rubāʿiyāt رباعیات_rubaiyat^{Bahasa Parsi}). Puisi ini menjadi terkenal di dunia pembaca bahasa Inggeris melalui terjemahan oleh Edward FitzGerald (Rubaiyat Omar Khayyam, 1859), yang mencapai kejayaan besar dalam Orientalisme fin de siècle.

Rujukan terawal kepada puisi Omar Khayyam adalah daripada sejarawan Imad al-Din al-Isfahani, seorang sezaman Khayyam yang lebih muda, yang secara jelas mengenal pasti beliau sebagai penyair dan saintis (Kharidat al-qasr, 1174). Antara contoh awal Rubaiyat Omar Khayyam adalah daripada Fakhr al-Din Razi dalam karyanya al-Tanbih 'ala ba'd asrar al-maw'dat fi'l-Qur'an (sekitar 1160), yang memetik salah satu puisinya. Daya dalam penulisannya (Mirṣād al-'Ibad, sekitar 1230) memetik dua kuatrain, salah satunya sama dengan yang dilaporkan oleh Razi. Sebuah kuatrain tambahan dipetik oleh sejarawan Juvayni (Tarikh-i Jahangushay, sekitar 1226-1283). Pada tahun 1340, Jajarmi memasukkan tiga belas kuatrain Khayyam dalam karyanya yang mengandungi antologi karya-karya penyair Parsi terkenal (Mu'nis al-ahrār), dua daripadanya telah diketahui dari sumber-sumber yang lebih lama. Manuskrip yang agak lewat adalah Bodleian MS. Ouseley 140, yang ditulis di Shiraz pada tahun 1460, mengandungi 158 kuatrain pada 47 folia. Manuskrip ini dimiliki oleh William Ouseley (1767-1842) dan dibeli oleh Perpustakaan Bodleian pada tahun 1844.

Terdapat petikan sesekali ayat-ayat yang dikaitkan dengan Khayyam dalam teks yang dikaitkan dengan pengarang abad ke-13 dan ke-14, tetapi ini adalah diragui keasliannya, sehingga para sarjana skeptik menunjukkan bahawa keseluruhan tradisi mungkin pseudepigrafi. Hans Heinrich Schaeder pada tahun 1934 mengulas bahawa nama Omar Khayyam "hendaklah dikeluarkan daripada sejarah sastera Parsi" kerana ketiadaan sebarang bahan yang boleh dikaitkan dengan beliau secara yakin. De Blois membentangkan bibliografi tradisi manuskrip, menyimpulkan secara pesimis bahawa keadaan tidak banyak berubah sejak zaman Schaeder. Lima daripada kuatrain yang kemudian dikaitkan dengan Omar Khayyam ditemui seawal 30 tahun selepas kematiannya, dipetik dalam Sindbad-Nameh. Walaupun ini membuktikan bahawa ayat-ayat khusus ini beredar pada zaman Omar atau tidak lama selepas itu, ia tidak bermaksud bahawa ayat-ayat itu mestilah milik beliau. De Blois menyimpulkan bahawa sekurang-kurangnya proses mengaitkan puisi kepada Omar Khayyam nampaknya telah bermula seawal abad ke-13. Edward Granville Browne (1906) menyatakan kesukaran untuk membezakan kuatrain yang tulen daripada yang palsu: "walaupun pasti Khayyam menulis banyak kuatrain, ia hampir mustahil, kecuali dalam beberapa kes pengecualian, untuk menyatakan secara positif bahawa beliau menulis mana-mana daripada yang dikaitkan dengannya".

Selain kuatrain Parsi, terdapat dua puluh lima puisi Arab yang dikaitkan dengan Khayyam yang disahkan oleh sejarawan seperti al-Isfahani, Shahrazuri (Nuzhat al-Arwah, sekitar 1201-1211), Qifti (Tārikh al-hukamā, 1255), dan Hamdallah Mustawfi (Tarikh-i guzida, 1339). Boyle dan Richard N. Frye menekankan bahawa terdapat beberapa sarjana Parsi lain yang sesekali menulis kuatrain, termasuk Avicenna, Ghazali, dan Tusi. Mereka menyimpulkan bahawa kemungkinan juga bagi Khayyam, puisi adalah hiburan pada waktu lapangnya: "puisi-puisi singkat ini nampaknya sering menjadi hasil karya sarjana dan saintis yang menggubahnya, mungkin, pada saat-saat bersantai untuk mendidik atau menghibur lingkungan dalaman murid-murid mereka".

4.2. Falsafah

Khayyam menganggap dirinya sebagai murid Avicenna. Menurut Al-Bayhaqi, beliau sedang membaca metafizik dalam Kitab Penyembuhan Avicenna sebelum meninggal dunia. Terdapat enam kertas kerja falsafah yang dipercayai ditulis oleh Khayyam. Salah satunya, Mengenai Kewujudan (Fi'l-wujūd_Fi'l-wujud^{Bahasa Arab}), asalnya ditulis dalam bahasa Parsi dan membincangkan subjek kewujudan dan hubungannya dengan universal. Kertas kerja lain, bertajuk Keperluan Percanggahan dalam Dunia, Determinisme dan Subsisten (Darurat al-tadād fi'l-'ālam wa'l-jabr wa'l-baqā'_{Darurat al-tadad fi'l-'alam wa'l-jabr wa'l-baqa'}^{Bahasa Arab}), ditulis dalam bahasa Arab dan membincangkan kehendak bebas dan determinisme. Tajuk-tajuk karyanya yang lain ialah Mengenai Kehidupan dan Keperluan (Risālah fī'l-kawn wa'l-taklīf_{Risalah fi'l-kawn wa'l-taklif}^{Bahasa Arab}), Risalah Mengenai Transcendensi dalam Kewujudan (al-Risālah al-ulā fi'l-wujūd_{al-Risalah al-ula fi'l-wujud}^{Bahasa Arab}), Mengenai Pengetahuan Prinsip-prinsip Universal Kewujudan (Risālah dar 'ilm kulliyāt-i wujūd_{Risalah dar ilm kulliyat-i wujud}^{Bahasa Arab}), dan Ringkasan Mengenai Fenomena Alamiah (Mukhtasar fi'l-Tabi'iyyāt_{Mukhtasar fi'l-Tabi'iyyat}^{Bahasa Arab}).

Khayyam sendiri pernah menyatakan:
{{blockquote|Kami adalah mangsa zaman apabila ilmuwan tidak lagi diyakini, dan hanya sedikit yang mampu terlibat dalam penyelidikan saintifik. Ahli falsafah kami menghabiskan seluruh masa mereka mencampuradukkan kebenaran dengan kepalsuan dan tidak berminat pada apa-apa kecuali penampilan luaran; sedikit ilmu yang mereka ada digunakan untuk tujuan material. Apabila mereka melihat seorang yang tulus dan gigih dalam mencari kebenaran, seseorang yang tidak mahu berurusan dengan kepalsuan dan kepura-puraan, mereka mencemuh dan menghinanya.}}
Penulis Jepun pula mencatatkan kecenderungan materialistiknya dan pengasingan intelektualnya semasa pemerintahan Seljuk dan kebangkitan teologi Ash'ari serta Sufisme. Beliau merupakan pengganti semangat rasional Avicenna di tengah-tengah kemerosotan intelektual.

4.3. Pandangan Keagamaan

Pembacaan literal kuatrain Khayyam membawa kepada tafsiran sikap falsafahnya terhadap kehidupan sebagai gabungan pesimisme filosofis, nihilisme, Epikureanisme, fatalisme, dan agnostisisme. Pandangan ini dipegang oleh Iranologi seperti Arthur Christensen, Hans Heinrich Schaeder, John Andrew Boyle, Edward Denison Ross, Edward Henry Whinfield dan George Sarton. Sebaliknya, kuatrain Khayyam juga digambarkan sebagai puisi Sufi yang mistik. J. C. E. Bowen menyebut bahawa puisi Arab Khayyam juga "mengungkapkan pandangan pesimistik yang sepenuhnya sesuai dengan pandangan ahli falsafah rasionalis yang berfikiran mendalam seperti yang diketahui secara sejarah tentang Khayyam." Edward FitzGerald menekankan skeptisisme agama yang ditemuinya dalam Khayyam. Dalam prakatanya kepada Rubaiyat, beliau mendakwa bahawa Khayyam "dibenci dan ditakuti oleh Sufi", dan menafikan sebarang dakwaan alegori ilahi: "Wainnya adalah Jus Anggur yang sebenar: Kedai minumnya, tempat ia didapati: Sakinya, Daging dan Darah yang menuangkannya untuknya." Sadegh Hedayat adalah salah seorang penyokong falsafah Khayyam yang paling terkenal sebagai skeptisisme agnostik, dan menurut Jan Rypka (1934), beliau malah menganggap Khayyam sebagai seorang ateis. Hedayat (1923) menyatakan bahawa "sementara Khayyam percaya pada transmutasi dan transformasi tubuh manusia, beliau tidak percaya pada jiwa yang berasingan; jika kita bertuah, zarah-zarah tubuh kita akan digunakan dalam pembuatan sebuah kendi wain." Puisi Omar Khayyam telah dipetik dalam konteks Ateisme Baru, seperti dalam The Portable Atheist oleh Christopher Hitchens.

Al-Qifti (sekitar 1172-1248) nampaknya mengesahkan pandangan ini terhadap falsafah Khayyam. Dalam karyanya Sejarah Orang-orang Terpelajar, beliau melaporkan bahawa puisi-puisi Khayyam hanya secara luaran dalam gaya Sufi, tetapi ditulis dengan agenda anti-agama. Beliau juga menyebut bahawa beliau pernah didakwa atas tuduhan kemaksiatan, tetapi pergi menunaikan haji untuk membuktikan beliau taat beragama. Laporan menyatakan bahawa setelah kembali ke kampung halamannya, beliau menyembunyikan keyakinan terdalamnya dan mengamalkan kehidupan beragama yang ketat, pergi pagi dan petang ke tempat ibadah. Khayyam juga mengemukakan pandangan yang mencabar dogma Islam. Beliau berhujah bahawa kejadian dan fenomena alam dijelaskan oleh hukum semula jadi, dan menolak konsep Hari Kiamat serta ganjaran/hukuman akhirat.

Berikut adalah beberapa kuatrain yang menggambarkan pandangan beliau:

Khayyam juga menulis kuatrain yang mencerminkan pandangan skeptikalnya terhadap dogma agama dan pertanyaan tentang kewujudan Tuhan:
{{blockquote|Al-Quran! Baiklah, mari uji saya,
Buku lama yang indah dalam kesalahan yang mengerikan,
Percayalah, saya juga boleh memetik Al-Quran,
Orang yang tidak beriman paling tahu Al-Quran.
Dan adakah kamu fikir bahawa kepada orang seperti kamu,
Sekumpulan makhluk berfikiran sempit, kelaparan, fanatik,
Tuhan memberikan Rahsia, dan menafikannya daripada saya?
Baiklah, apa gunanya! Percayalah juga itu.}}

{{blockquote|Jangan melihat ke atas, tiada jawapan di sana;
Jangan berdoa, kerana tiada siapa yang mendengar doamu;
Dekat adalah sama dekatnya dengan Tuhan seperti mana Jauh,
Dan Di Sini adalah penipuan yang sama seperti Di Sana.}}

{{blockquote|Orang bercerita tentang syurga,-tiada syurga melainkan di sini;
Orang bercerita tentang neraka,-tiada neraka melainkan di sini;
Orang bercerita tentang alam selepas ini, dan kehidupan akan datang,
Oh kasih, tiada kehidupan lain-melainkan di sini.}}

Sebuah laporan mengenainya, yang ditulis pada abad ke-13, menunjukkan beliau sebagai "berpengetahuan dalam semua kebijaksanaan Yunani," dan sering menegaskan keperluan untuk mengkaji sains mengikut kaedah Yunani. Daripada karya-karya prosa beliau, dua yang dianggap berkuasa, masing-masing membincangkan batu permata dan klimatologi. Tanpa syak lagi penyair-ahli astronomi itu tidak taat; dan astronominya sudah pasti membantunya menjadi begitu. Seorang sezaman menulis: "Saya tidak memerhatikan bahawa beliau mempunyai kepercayaan yang besar terhadap ramalan astrologi; saya juga tidak pernah melihat atau mendengar mana-mana (saintis) besar yang mempunyai kepercayaan sedemikian. Beliau tidak memberikan kepatuhannya kepada mana-mana mazhab agama. Agnostisisme, bukan iman, adalah kunci utama karya-karya beliau. Antara mazhab-mazhab beliau melihat di mana-mana perselisihan dan kebencian yang tidak dapat beliau sertai....". Penulis novel Parsi Sadegh Hedayat berkata Khayyam dari "masa mudanya hingga kematiannya kekal sebagai materialis, pesimis, agnostik. Khayyam melihat semua persoalan agama dengan mata skeptikal", sambung Hedayat, "dan membenci fanatisme, pemikiran sempit, dan semangat membalas dendam para mulla, para sarjana agama."

Dalam konteks sebuah karya bertajuk Mengenai Pengetahuan Prinsip-prinsip Kewujudan, Khayyam menyokong jalan Sufi. Csillik mencadangkan kemungkinan bahawa Omar Khayyam dapat melihat dalam Sufisme sekutu menentang keagamaan ortodoks. Pengulas lain tidak menerima bahawa puisi Khayyam mempunyai agenda anti-agama dan menafsirkan rujukan beliau kepada wain dan kemabukan dalam pengertian metafora konvensional yang lazim dalam Sufisme. Penterjemah Perancis J. B. Nicolas berpendapat bahawa nasihat Khayyam yang berterusan untuk meminum wain tidak boleh diambil secara literal, tetapi harus dianggap dalam konteks pemikiran Sufi di mana mabuk yang mempesonakan oleh "wain" difahami sebagai metafora untuk keadaan pencerahan atau kegembiraan ilahi baqaa. Pandangan Omar Khayyam sebagai seorang Sufi dipertahankan oleh Bjerregaard, Idries Shah, dan Dougan yang mengaitkan reputasi hedonisme kepada kegagalan terjemahan FitzGerald, dengan alasan bahawa puisi Khayyam harus difahami sebagai "sangat esoterik".

Sebaliknya, pakar Iran seperti Mohammad Ali Foroughi dan Mojtaba Minovi menolak hipotesis bahawa Omar Khayyam adalah seorang Sufi. Foroughi menyatakan bahawa idea Khayyam mungkin selaras dengan Sufi pada masa-masa tertentu tetapi tiada bukti bahawa beliau secara formal adalah seorang Sufi. Mehdi Aminrazavi menyatakan bahawa "interpretasi Sufi terhadap Khayyam hanya mungkin dengan membaca Rubāʿīyyāt beliau secara meluas dan meregangkan kandungan untuk disesuaikan dengan doktrin Sufi klasik." Selain itu, Boyle menekankan bahawa Khayyam sangat tidak disukai oleh beberapa mistik Sufi terkenal yang sezaman dengannya. Ini termasuk Shams Tabrizi (pembimbing rohani Rumi), Najm al-Din Daya yang menggambarkan Omar Khayyam sebagai "ahli falsafah yang malang, ateis, dan materialis", dan Attar yang menganggapnya bukan sebagai rakan mistik tetapi seorang saintis berfikiran bebas yang menanti hukuman di akhirat.

Seyyed Hossein Nasr berpendapat bahawa adalah "reduktif" untuk menggunakan tafsiran literal ayat-ayatnya (kebanyakannya tidak pasti keasliannya) untuk menentukan falsafah Omar Khayyam. Sebaliknya, beliau mengemukakan terjemahan interpretatif Khayyam terhadap risalah Avicenna Wacana Mengenai Kesatuan (al-Khutbat al-Tawhīd_{al-Khutbat al-Tawhid}^{Bahasa Arab}), di mana beliau menyatakan pandangan ortodoks tentang Kesatuan Ilahi yang selaras dengan pengarang. Karya-karya prosa yang dipercayai milik Khayyam ditulis dalam gaya Peripatetik dan secara jelas teistik, membincangkan subjek seperti kewujudan Tuhan dan teodisi. Seperti yang dicatat oleh Bowen, karya-karya ini menunjukkan penglibatan beliau dalam masalah metafizik dan bukan dalam selok-belok Sufisme. Sebagai bukti keimanan dan/atau kepatuhan Khayyam kepada adat Islam, Aminrazavi menyebutkan bahawa dalam risalahnya, beliau menawarkan ucapan salam dan doa, memuji Tuhan dan Muhammad. Dalam kebanyakan petikan biografi, beliau dirujuk dengan gelaran hormat keagamaan seperti Imam, Pelindung Iman (Ghīyāth al-Dīn_{Ghiyath al-Din}^{Bahasa Arab}), dan Bukti Kebenaran (Hujjat al-Haqq_{Hujjat al-Haqq}^{Bahasa Arab}). Beliau juga menyatakan bahawa ahli biografi yang memuji kesalehan beliau umumnya mengelak daripada merujuk kepada puisinya, manakala mereka yang menyebut puisinya sering tidak memuji karakter agamanya. Sebagai contoh, laporan Al-Bayhaqi, yang mendahului beberapa tahun notis biografi lain, bercerita tentang Omar sebagai seorang yang sangat soleh yang menganut pandangan ortodoks hingga ke saat terakhirnya. Berdasarkan semua bukti tekstual dan biografi yang ada, persoalan ini masih agak terbuka, dan hasilnya Khayyam telah menerima penghargaan dan kritikan yang sangat bercanggah.

6.1. Penerimaan Kontemporari dan Barat

Pelbagai petikan biografi yang merujuk kepada Omar Khayyam menggambarkannya sebagai tiada tandingan dalam pengetahuan dan pencapaian saintifik pada zamannya. Ramai yang memanggilnya dengan gelaran Raja Para Bijaksana (ملك الحکماء_{Malik al-Hukama}^{Bahasa Arab}). Shahrazuri (m. 1300) sangat menghormatinya sebagai ahli matematik, dan mendakwa bahawa beliau boleh dianggap sebagai "pengganti Avicenna dalam pelbagai cabang ilmu falsafah". Al-Qifti (m. 1248), meskipun tidak bersetuju dengan pandangannya, mengakui bahawa beliau "tidak ada tandingan dalam pengetahuannya tentang falsafah semula jadi dan astronomi". Walaupun diisytiharkan sebagai penyair oleh beberapa ahli biografi, menurut John Andrew Boyle, "masih boleh diperdebatkan bahawa status Khayyam sebagai penyair kelas pertama adalah perkembangan yang agak lewat."

Thomas Hyde adalah orang Eropah pertama yang menarik perhatian kepada Khayyam dan menterjemahkan salah satu kuatrainnya ke dalam bahasa Latin (Historia religionis veterum Persarum eorumque magorum, 1700). Minat Barat terhadap Parsi berkembang dengan gerakan Orientalisme pada abad ke-19. Joseph von Hammer-Purgstall (1774-1856) menterjemahkan beberapa puisi Khayyam ke dalam bahasa Jerman pada tahun 1818, dan Gore Ouseley (1770-1844) ke dalam bahasa Inggeris pada tahun 1846, tetapi Khayyam kekal tidak dikenali di Barat sehingga selepas penerbitan Rubaiyat Omar Khayyam oleh Edward FitzGerald pada tahun 1859. Karya FitzGerald pada mulanya tidak berjaya tetapi dipopularkan oleh Whitley Stokes dari tahun 1861 dan seterusnya, dan karya itu sangat dikagumi oleh Pre-Raphaelites. Pada tahun 1872, FitzGerald mencetak edisi ketiga yang meningkatkan minat terhadap karya itu di Amerika. Menjelang tahun 1880-an, buku itu sangat terkenal di seluruh dunia berbahasa Inggeris, sehingga terbentuknya banyak "Kelab Omar Khayyam" dan "kultus Rubaiyat fin de siècle". Puisi Khayyam telah diterjemahkan ke dalam banyak bahasa; kebanyakan terjemahan yang lebih baru adalah lebih literal daripada terjemahan FitzGerald.

6.2. Pengaruh terhadap Sastera dan Budaya

Terjemahan FitzGerald merupakan faktor penting dalam menghidupkan semula minat terhadap Khayyam sebagai penyair di negara asalnya Iran. Sadegh Hedayat dalam karyanya Lagu-lagu Khayyam (Taranehha-ye Khayyam, 1934) memperkenalkan semula warisan puisi Khayyam kepada Iran moden. Bakat dan minat intelektual Khayyam yang pelbagai menarik ramai penulis Uthmaniyah dan Turki sepanjang sejarah. Para sarjana sering melihat Khayyam sebagai cara untuk meningkatkan kebolehan puisi dan kedalaman intelektual mereka sendiri, mengambil inspirasi dan pengiktirafan daripada penulisannya.

Bagi kebanyakan pembaharu Muslim, ayat-ayat Khayyam memberikan titik balas kepada norma-norma konservatif yang lazim dalam masyarakat Islam, memberikan ruang untuk pemikiran bebas dan gaya hidup liberal. Tokoh-tokoh seperti Abdullah Cevdet, Rıza Tevfik, dan Yahya Kemal menggunakan tema-tema Khayyam untuk membenarkan ideologi progresif mereka atau untuk meraikan aspek-aspek liberal dalam kehidupan mereka, menggambarkan beliau sebagai teladan budaya, politik, dan intelektual yang menunjukkan keserasian Islam dengan konvensyen moden. Begitu juga, penyair dan intelektual kiri Turki, termasuk Nâzım Hikmet, Sabahattin Eyüboğlu, A. Kadir, dan Gökçe, mengambil inspirasi daripada Khayyam untuk memperjuangkan pandangan dunia sosialis mereka, menyemai suaranya dengan nada humanistik dalam bahasa vernakular. Kebangkitan semula Khayyam dalam Bahasa Turki sejak tahun 1980-an telah mengubah beliau menjadi seorang penyair rakyat, dengan banyak buku dan terjemahan menghidupkan semula kepentingan sejarahnya. Sebaliknya, sarjana seperti Dāniş, Tevfik, dan Gölpınarlı menganjurkan kritikan sumber dan pengenalan kuatrain tulen untuk membezakan Khayyam yang sebenar di tengah-tengah persepsi sejarah terhadap imej sosiokulturalnya.

Kuatrain oleh Omar Khayyam yang dikenali sebagai "The Moving Finger", dalam bentuk terjemahan oleh penyair Inggeris Edward FitzGerald adalah salah satu kuatrain paling popular di Anglosfera. Ia berbunyi:
{{blockquote|The Moving Finger writes; and having writ,
Moves on: nor all your Piety nor Wit
Shall lure it back to cancel half a Line,
Nor all your Tears wash out a Word of it.}}

Tajuk novel The Moving Finger yang ditulis oleh Agatha Christie dan diterbitkan pada tahun 1942 diilhamkan oleh kuatrain ini daripada terjemahan Rubaiyat Omar Khayyam oleh Edward FitzGerald. Martin Luther King Jr. juga memetik kuatrain Omar Khayyam ini dalam salah satu ucapannya, "Beyond Vietnam: A Time to Break Silence":
{{blockquote|"Kita mungkin menangis terdesak agar masa berhenti berlalu, tetapi masa tetap tegas terhadap setiap rayuan dan terus berlalu. Di atas tulang-tulang yang diputihkan dan sisa-sisa tamadun yang bergelimpangan tertulis kata-kata yang menyedihkan, 'Terlambat.' Terdapat buku kehidupan yang tidak kelihatan yang setia mencatat kewaspadaan atau kelalaian kita. Omar Khayyam betul: 'Jari yang bergerak menulis, dan setelah menulis terus berlalu.'"}}
Dalam salah satu ucapannya mengenai skandal Clinton-Lewinsky, Bill Clinton, presiden Amerika Syarikat ke-42, juga memetik kuatrain ini.

Dalam budaya popular lain, Harold Lamb pada tahun 1934 menerbitkan novel sejarah Omar Khayyam. Penulis Perancis-Lubnan Amin Maalouf mendasarkan separuh pertama novel fiksyen sejarahnya Samarkand pada kehidupan Khayyam dan penciptaan Rubaiyatnya. Pengukir Eduardo Chillida menghasilkan empat kepingan besi besar bertajuk Mesa de Omar Khayyam (Meja Omar Khayyam) pada tahun 1980-an. Nathan Haskell Dole pula menerbitkan novel Omar, the Tentmaker: A Romance of Old Persia pada tahun 1898. Omar the Tentmaker of Naishapur adalah novel sejarah oleh John Smith Clarke, yang diterbitkan pada tahun 1910. "Omar the Tentmaker" juga merupakan tajuk drama tahun 1914 oleh Richard Walton Tully dalam suasana oriental, yang diadaptasi sebagai filem senyap pada tahun 1922. Jeneral AS Omar Bradley diberi nama panggilan "Omar the Tent-Maker" dalam Perang Dunia Kedua.

6.3. Peringatan dan Penghormatan

Di bawah Dinasti Pahlavi, sebuah monumen baru dari marmar putih, yang direka oleh arkitek Houshang Seyhoun, didirikan di atas makamnya. Sebuah patung oleh Abolhassan Sadighi didirikan di Taman Laleh, Tehran pada tahun 1960-an, dan patung dada oleh pengukir yang sama diletakkan berhampiran makam Khayyam di Nishapur. Pada tahun 2009, negara Iran menyumbangkan Pavilion Cendekiawan kepada Pejabat Pertubuhan Bangsa-Bangsa Bersatu di Vienna, yang dirasmikan di Pusat Antarabangsa Vienna. Pada tahun 2016, tiga patung Khayyam diresmikan: satu di Universiti Oklahoma, satu di Nishapur, dan satu di Florence, Itali. Lebih daripada 150 komposer telah menggunakan Rubaiyat sebagai sumber inspirasi mereka. Komposer terawal adalah Liza Lehmann.

Kawah qamari Omar Khayyam dinamakan sempena namanya pada tahun 1970, begitu juga planet kecil 3095 Omarkhayyam yang ditemui oleh ahli astronomi Soviet Lyudmila Zhuravlyova pada tahun 1980. Google telah mengeluarkan dua Google Doodle untuk memperingatinya. Yang pertama adalah pada ulang tahun kelahirannya yang ke-964 pada 18 Mei 2012. Yang kedua adalah pada ulang tahun kelahirannya yang ke-971 pada 18 Mei 2019. Pada tahun 2000, UNESCO turut mengiktiraf beliau sebagai "Tokoh Penting Dunia". Patung-patung Omar Khayyam juga terdapat di Bucharest dan Madrid.