Pierre Deligne

1.1. Early Life and Education

Pierre René Deligne dilahirkan pada 3 Oktober 1944 di Etterbeek, Belgium. Sejak usia 14 tahun, beliau sudah mampu memahami karya-karya matematik yang kompleks seperti Éléments de mathématique oleh Nicolas Bourbaki. Menjelang masa beliau memasuki Université libre de Bruxelles (ULB), beliau dilaporkan telah menguasai keseluruhan kurikulum matematik peringkat universiti.

Beliau menamatkan disertasinya di ULB yang bertajuk Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales (Teorem Lefschetz dan kriteria degenerasi jujukan spektrum). Pada tahun 1972, beliau memperoleh ijazah kedoktoran dari Universiti Paris-Sud di Orsay di bawah seliaan Alexander Grothendieck, dengan tesis bertajuk Théorie de Hodge.

1.2. Career Path

Kerjaya profesional Deligne bermula pada tahun 1965 apabila beliau mula bekerja dengan Alexander Grothendieck di Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) berhampiran Paris. Beliau menjadi profesor pelawat di IHÉS pada usia 23 tahun dan profesor penuh pada usia 26 tahun. Pada mulanya, mereka menumpukan perhatian kepada generalisasi teorem utama Zariski dalam teori skim. Pada tahun 1968, beliau juga berkolaborasi dengan Jean-Pierre Serre, menghasilkan keputusan penting mengenai perwakilan l-adik yang berkaitan dengan bentuk modular dan persamaan fungsian konjektural fungsi L.

Deligne juga menumpukan perhatian kepada topik dalam teori Hodge. Beliau memperkenalkan konsep pemberat dan mengujinya pada objek dalam geometri kompleks. Beliau turut bekerjasama dengan David Mumford dalam penerangan baharu mengenai ruang moduli untuk lengkung. Karya mereka kemudiannya dilihat sebagai pengenalan kepada satu bentuk teori timbunan algebra (algebraic stacks) dan baru-baru ini telah diaplikasikan kepada persoalan yang timbul daripada teori rentetan.

Sumbangan paling terkenal Deligne ialah pembuktiannya terhadap konjektur Weil yang ketiga dan terakhir pada tahun 1973. Pembuktian ini melengkapkan program yang dimulakan dan sebahagian besarnya dibangunkan oleh Alexander Grothendieck selama lebih dari satu dekad. Sebagai akibatnya, beliau membuktikan Dugaan Ramanujan-Petersson yang terkenal untuk bentuk modular dengan pemberat lebih besar daripada satu; pemberat satu telah dibuktikan dalam karyanya bersama Serre. Kertas kerja Deligne pada tahun 1974 mengandungi pembuktian pertama konjektur Weil, manakala kertas kerja beliau pada tahun 1980 mengandungi versi hipotesis Riemann yang jauh lebih umum.

Dari tahun 1970 hingga 1984, Deligne merupakan ahli tetap kakitangan IHÉS. Sepanjang tempoh ini, beliau melakukan banyak kerja penting di luar geometri algebra. Dalam kerja bersama dengan George Lusztig, Deligne mengaplikasikan kohomologi étale untuk membina perwakilan kumpulan Lie terhingga; bersama Michael Rapoport, Deligne mengkaji ruang moduli dari sudut pandangan aritmetik 'halus', dengan aplikasi kepada bentuk modular. Beliau menerima Pingat Fields pada tahun 1978. Pada tahun 1984, Deligne berpindah ke Institut Pengajian Lanjutan (IAS) di Princeton, Amerika Syarikat.

Walaupun pada awalnya beliau setia kepada program matematik Grothendieck, Deligne kemudiannya memilih untuk menyelesaikan Dugaan Weil secara lebih awal dan bebas, yang menyebabkan ketegangan dengan Grothendieck. Namun, Deligne telah berusaha untuk berdamai, termasuk dengan menerbitkan koleksi kertas kerja sempena ulang tahun kelahiran Grothendieck yang ke-60 pada tahun 1988.

2.1. Weil Conjectures

Sumbangan Deligne yang paling terkenal ialah pembuktian lengkapnya terhadap Dugaan Weil pada tahun 1973. Dugaan ini, yang meramalkan ciri-ciri fungsi zeta bagi varieti algebra di atas medan terhingga, merupakan analog geometri bagi hipotesis Riemann. Pembuktian Deligne melibatkan penggunaan kohomologi l-adik dan struktur Hodge campuran.

Pembuktian ini bukan sahaja mengesahkan dugaan yang telah lama tertangguh, tetapi juga mempunyai beberapa akibat penting. Sebagai korolari, beliau membuktikan Dugaan Ramanujan-Petersson untuk bentuk modular dengan pemberat lebih besar daripada satu. Sumbangan utama Deligne adalah dalam menyediakan anggaran nilai eigen bagi endomorfisme Frobenius, yang dianggap sebagai analog geometri bagi hipotesis Riemann. Pembuktian ini juga membawa kepada pembuktian teorem Lefschetz keras dan anggaran lama serta baharu bagi hasil tambah eksponen klasik, di antara aplikasi lain. Kertas kerja Deligne pada tahun 1980 mengandungi versi hipotesis Riemann yang jauh lebih umum.

2.2. Hodge Theory and Motives

Deligne memberikan sumbangan besar kepada teori Hodge, memperkenalkan konsep pemberat dan mengujinya pada objek dalam geometri kompleks. Beliau mencipta struktur Hodge campuran, alat yang sangat berkuasa dalam geometri algebra yang menggeneralisasi teori Hodge klasik. Beliau membangunkan struktur ini dengan mengaplikasikan penapisan pemberat, penyelesaian singulariti Hironaka, dan kaedah lain, yang kemudiannya digunakan untuk membuktikan Dugaan Weil.

Dalam konteks melengkapkan program penyelidikan Grothendieck, Deligne mendefinisikan kitaran Hodge mutlak sebagai pengganti bagi teori motif yang masih belum lengkap dan sebahagian besarnya konjektural. Idea ini membolehkan seseorang mengatasi kekurangan pengetahuan mengenai Dugaan Hodge untuk beberapa aplikasi. Beliau juga mengolah semula teori kategori Tannakian dalam kertas kerjanya pada tahun 1990 untuk "Grothendieck Festschrift", menggunakan teorem monadisiti Beck. Konsep kategori Tannakian ini merupakan ungkapan kategori bagi lineariti teori motif sebagai teori kohomologi Weil yang muktamad. Semua ini adalah sebahagian daripada yoga pemberat, yang menyatukan teori Hodge dan perwakilan Galois l-adik. Teori varieti Shimura berkaitan dengannya, dengan idea bahawa varieti tersebut sepatutnya memparametriskan bukan sahaja keluarga struktur Hodge yang baik (menarik secara aritmetik), tetapi motif sebenar.

2.3. Moduli Spaces and Algebraic Stacks

Deligne bekerjasama dengan David Mumford dalam penerangan baharu mengenai ruang moduli untuk lengkung. Kerja mereka menjadi asas penting dan dilihat sebagai pengenalan kepada satu bentuk timbunan algebra (algebraic stacks). Penyelidikan ini telah diaplikasikan kepada persoalan yang timbul daripada teori rentetan dalam fizik teori.

2.4. Representation Theory and Algebraic Groups

Dalam kerja bersama dengan George Lusztig, Deligne mengaplikasikan kohomologi étale untuk membina perwakilan kumpulan Lie terhingga. Sumbangan ini membawa kepada pembangunan Teori Deligne-Lusztig, yang menyediakan kaedah geometri untuk memahami dan mengklasifikasikan perwakilan kumpulan algebra terhingga.

2.5. Other Key Works

Deligne telah memberikan sumbangan penting kepada pelbagai bidang matematik lain:

• Sheaf songsang dan Korespondensi Riemann-Hilbert**: Bersama Alexander Beilinson, Joseph Bernstein, dan Ofer Gabber, Deligne membuat sumbangan definitif kepada teori sheaf songsang. Teori ini memainkan peranan penting dalam pembuktian lema fundamental oleh Ngô Bảo Châu. Deligne sendiri menggunakannya untuk menjelaskan dengan lebih jelas sifat Korespondensi Riemann-Hilbert, yang meluaskan masalah kedua puluh satu Hilbert kepada dimensi yang lebih tinggi.
• Geometri Pembezaan Kompleks**: Pada tahun 1974 di IHÉS, kertas kerja bersama Deligne dengan Phillip Griffiths, John Morgan, dan Dennis Sullivan mengenai teori homotopi nyata bagi manifold Kähler padat merupakan karya utama dalam geometri pembezaan kompleks yang menyelesaikan beberapa persoalan penting.
• Teori Singulariti**: Karya beliau dalam teori singulariti kompleks menggeneralisasi pemetaan Milnor ke dalam tetapan algebra dan meluaskan formula Picard-Lefschetz di luar format umum mereka, menjana kaedah penyelidikan baharu dalam subjek ini.
• Geometri Aritmetik**: Kertas kerja beliau dengan Ken Ribet mengenai fungsi L abelian dan perluasannya kepada permukaan modular Hilbert dan fungsi L p-adik membentuk bahagian penting dalam karyanya dalam geometri aritmetik.
• Sumbangan Lain**: Pencapaian penyelidikan penting lain Deligne termasuk tanggapan keturunan kohomologi, fungsi L motivik, sheaf campuran, kitaran lenyap berdekatan, perluasan pusat kumpulan reduktif, geometri dan topologi kumpulan jalinan, menyediakan definisi aksiomatik moden bagi varieti Shimura, kerja bersama George Mostow mengenai contoh kekisi bukan aritmetik dan monodromi persamaan pembezaan hipergeometri dalam ruang hiperbolik kompleks dua dan tiga dimensi, pengenalan kohomologi relatif antara dua kuantisasi ubah bentuk, dan formula surih Deligne-Kazhdan. Beliau juga menyumbang kepada pembinaan kohomologi Deligne dan hubungan antara nilai zeta berganda dengan motif.