Thoralf Skolem

1.1. Zaman Kanak-kanak dan Keluarga

Thoralf Albert Skolem dilahirkan pada 23 Mei 1887. Walaupun bapanya seorang guru sekolah rendah, kebanyakan ahli keluarga besarnya adalah petani. Beliau menghadiri sekolah menengah di Kristiania (kemudian dinamakan semula sebagai Oslo), dan berjaya lulus peperiksaan masuk universiti pada tahun 1905.

1.2. Pendidikan

Selepas menamatkan sekolah menengah, Skolem mendaftar di Universiti Diraja Frederik (kini Universiti Oslo) untuk melanjutkan pengajian dalam bidang matematik. Selain matematik, beliau turut mengambil kursus dalam fizik, kimia, zoologi, dan botani, menunjukkan minat yang luas dalam pelbagai disiplin ilmu. Pada tahun 1913, Skolem berjaya lulus peperiksaan negara dengan cemerlang, dan menyiapkan disertasi bertajuk Investigations on the Algebra of Logic (Penyelidikan mengenai Algebra Logik).

1.3. Kerjaya Awal dan Kolaborasi dengan Birkeland

Pada tahun 1909, Skolem mula bekerja sebagai pembantu kepada ahli fizik Kristian Birkeland, yang terkenal dengan eksperimennya mengebom sfera bermagnet dengan elektron dan menghasilkan kesan seperti aurora. Hasil daripada kolaborasi ini, penerbitan pertama Skolem adalah kertas kerja fizik yang ditulis bersama Birkeland. Pada tahun 1913, beliau juga mengembara bersama Birkeland ke Sudan untuk memerhati cahaya zodiak. Pada musim sejuk tahun 1915, Skolem menghabiskan masa di Universiti Göttingen, yang pada masa itu merupakan pusat penyelidikan terkemuka dalam logik matematik, metamatematik, dan algebra abstrak, bidang-bidang yang kemudiannya menjadi kepakaran Skolem.

1.4. Kerjaya Akademik dan Kehidupan Universiti

Pada tahun 1916, Skolem dilantik sebagai felo penyelidik di Universiti Diraja Frederik. Kemudian, pada tahun 1918, beliau menjadi pensyarah luar biasa (docent) dalam Matematik dan dilantik sebagai ahli Akademi Sains dan Kesusasteraan Norway. Pada mulanya, Skolem tidak mendaftar secara rasmi sebagai calon Ph.D., kerana beliau percaya bahawa ijazah Ph.D. tidak diperlukan di Norway. Namun, beliau kemudian mengubah fikirannya dan menyerahkan tesisnya pada tahun 1926, bertajuk Some theorems about integral solutions to certain algebraic equations and inequalities (Beberapa teorem tentang penyelesaian integer kepada persamaan dan ketaksamaan algebra tertentu). Penasihat tesis nominalnya ialah Axel Thue, walaupun Thue telah meninggal dunia pada tahun 1922.

Skolem terus mengajar di Universiti Diraja Frederik (yang dinamakan semula sebagai Universiti Oslo pada tahun 1939) sehingga tahun 1930, apabila beliau menjadi Felo Penyelidik di Institut Chr. Michelsen di Bergen. Jawatan kanan ini membolehkan Skolem menjalankan penyelidikan tanpa tugas pentadbiran dan pengajaran. Walau bagaimanapun, jawatan itu juga memerlukan beliau menetap di Bergen, sebuah bandar yang pada masa itu tidak mempunyai universiti dan oleh itu tiada perpustakaan penyelidikan, menyebabkan beliau tidak dapat mengikuti perkembangan literatur matematik terkini. Oleh itu, pada tahun 1938, beliau kembali ke Oslo untuk mengambil jawatan Profesor Matematik di universiti tersebut. Di sana, beliau mengajar kursus pascasiswazah dalam algebra dan teori nombor, dan hanya sekali-sekala mengajar logik matematik. Sepanjang kerjayanya, Skolem hanya mempunyai seorang pelajar Ph.D. yang terkenal, iaitu Øystein Ore, yang kemudiannya meneruskan kerjaya di Amerika Syarikat.

Skolem juga aktif dalam komuniti matematik Norway. Beliau berkhidmat sebagai presiden Persatuan Matematik Norway dan menyunting jurnal Norsk Matematisk Tidsskrift (Jurnal Matematik Norway) selama bertahun-tahun. Beliau juga merupakan pengasas dan penyunting pertama Mathematica Scandinavica.

1.5. Kehidupan Peribadi

Pada tahun 1927, Thoralf Skolem berkahwin dengan Edith Wilhelmine Hasvold.

1.6. Persaraan dan Kematian

Selepas persaraannya pada tahun 1957, Skolem melakukan beberapa perjalanan ke Amerika Syarikat, menyampaikan ceramah dan mengajar di universiti-universiti di sana. Beliau kekal aktif secara intelektual sehingga kematiannya yang mengejut dan tidak dijangka pada 23 Mac 1963.

2.1. Logik Matematik dan Teori Set

Skolem adalah seorang penyelidik perintis dalam logik matematik dan teori set. Pada tahun 1922, beliau memperhalusi aksiom Zermelo untuk teori set dengan menggantikan tanggapan "sifat pasti" Zermelo yang samar-samar dengan sebarang sifat yang boleh dikodkan dalam logik peringkat pertama. Aksiom yang terhasil kini merupakan sebahagian daripada aksiom standard teori set. Skolem juga menunjukkan bahawa akibat daripada teorem Löwenheim-Skolem ialah apa yang kini dikenali sebagai paradoks Skolem: Jika aksiom Zermelo konsisten, maka ia mesti dapat dipenuhi dalam domain yang boleh dihitung, walaupun ia membuktikan kewujudan set yang tidak boleh dihitung.

Karya Skolem pada awal tahun 1920-an, yang dibincangkan dalam penerbitan beliau pada tahun 1928, mengandungi hasil yang secara tidak langsung membuktikan kelengkapan logik peringkat pertama. Walau bagaimanapun, beliau tidak menyatakan fakta ini secara eksplisit, mungkin kerana ahli matematik dan ahli logik tidak menyedari sepenuhnya kelengkapan sebagai masalah metamatematik asas sehingga edisi pertama Principles of Mathematical Logic oleh Hilbert dan Ackermann pada tahun 1928 menjelaskannya dengan jelas. Walau apa pun, Kurt Gödel adalah yang pertama membuktikan kelengkapan ini pada tahun 1930.

2.2. Teori Model

Skolem merupakan seorang perintis dalam teori model. Pada tahun 1920, beliau sangat menyederhanakan bukti teorem yang pertama kali dibuktikan oleh Leopold Löwenheim pada tahun 1915, menghasilkan teorem Löwenheim-Skolem, yang menyatakan bahawa jika teori peringkat pertama yang boleh dihitung mempunyai model tak terhingga, maka ia mempunyai model yang boleh dihitung. Bukti beliau pada tahun 1920 menggunakan aksiom pilihan, tetapi beliau kemudian (1922 dan 1928) memberikan bukti menggunakan lema Kőnig sebagai ganti aksiom tersebut. Adalah penting untuk diperhatikan bahawa Skolem, seperti Löwenheim, menulis mengenai logik matematik dan teori set menggunakan notasi ahli teori model perintis sezamannya, Charles Sanders Peirce dan Ernst Schröder, termasuk Π dan Σ sebagai pengkuantiti pengikat pemboleh ubah, berbeza dengan notasi Peano, Principia Mathematica, dan Principles of Mathematical Logic. Skolem (1934) merintis pembinaan model tak piawai aritmetik dan teori set.

2.3. Teori Kratang

Skolem adalah antara yang pertama menulis mengenai kratang. Pada tahun 1912, beliau adalah yang pertama menggambarkan kratang teragih bebas yang dijana oleh n unsur. Pada tahun 1919, beliau menunjukkan bahawa setiap kratang implikatif (kini juga dikenali sebagai kratang Skolem) adalah teragih dan, sebagai sebahagian balikan, bahawa setiap kratang teragih terhingga adalah implikatif. Selepas hasil-hasil ini ditemui semula oleh ahli matematik lain, Skolem menerbitkan kertas kerja pada tahun 1936 dalam bahasa Jerman, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", meninjau semula karya awalnya dalam teori kratang.

2.4. Finitisme dan Teori Kebolehkomputan

Skolem tidak mempercayai konsep ketidakterhinggaan yang sempurna dan merupakan salah seorang pengasas finitisme dalam matematik. Dalam karyanya pada tahun 1923, beliau mengemukakan aritmetik rekursif primitif beliau, satu sumbangan awal kepada teori fungsi boleh komputasi, sebagai cara untuk mengelakkan apa yang disebut paradoks ketidakterhinggaan. Di sini, beliau membangunkan aritmetik nombor asli dengan terlebih dahulu mendefinisikan objek melalui rekursi primitif, kemudian mereka bentuk sistem lain untuk membuktikan sifat-sifat objek yang didefinisikan oleh sistem pertama. Kedua-dua sistem ini membolehkan beliau mendefinisikan nombor perdana dan mengemukakan sejumlah besar teori nombor. Jika sistem pertama ini boleh dianggap sebagai bahasa pengaturcaraan untuk mendefinisikan objek, dan sistem kedua sebagai logik pengaturcaraan untuk membuktikan sifat-sifat tentang objek, Skolem boleh dilihat sebagai perintis sains komputer teori yang tidak disengajakan.

2.5. Teorem dan Konsep Utama

Skolem telah menyumbang kepada beberapa teorem dan konsep penting dalam matematik, yang sebahagian daripadanya dinamakan sempena beliau:

• Teorem Skolem-Noether: Mencirikan automorfisme algebra mudah. Skolem menerbitkan bukti pada tahun 1927, tetapi Emmy Noether secara bebas menemui semula teorem ini beberapa tahun kemudian.
• Aritmetik Skolem: Pada tahun 1929, Presburger membuktikan bahawa aritmetik Peano tanpa pendaraban adalah konsisten, lengkap, dan boleh putus. Pada tahun berikutnya, Skolem membuktikan bahawa perkara yang sama berlaku untuk aritmetik Peano tanpa penambahan, sebuah sistem yang dinamakan aritmetik Skolem sebagai penghormatan kepadanya.
• Bentuk normal Skolem: Sebuah konsep penting dalam logik peringkat pertama.
• Paradoks Skolem: Akibat daripada teorem Löwenheim-Skolem.
• Teorem Skolem-Mahler-Lech: Sebuah teorem dalam teori nombor.
• Teorem Ramanujan-Skolem: Sebuah teorem yang berkaitan dengan fungsi penghitungan.
• Masalah Skolem: Sebuah masalah yang belum diselesaikan dalam teori nombor.
• Jujukan Skolem: Sebuah konsep dalam kombinatorik.
• Nombor p-adik: Skolem juga membuat sumbangan dalam bidang ini.

4.1. Penilaian Akademik

Hao Wang, seorang ahli logik dan ahli falsafah Cina-Amerika, memuji karya Skolem dengan menyatakan:
"Skolem cenderung untuk menangani masalah umum melalui contoh konkrit. Beliau sering kelihatan membentangkan bukti dalam urutan yang sama seperti beliau menemui mereka. Ini menghasilkan keinformalan yang segar serta ketidakpastian tertentu. Banyak kertas kerjanya kelihatan seperti laporan kemajuan. Namun idea-ideanya sering kali padat dan berpotensi untuk aplikasi yang luas. Beliau adalah seorang 'jiwa bebas': beliau tidak tergolong dalam mana-mana aliran, beliau tidak mengasaskan alirannya sendiri, beliau biasanya tidak banyak menggunakan hasil yang diketahui... beliau adalah seorang inovator dan kebanyakan kertas kerjanya boleh dibaca dan difahami oleh mereka yang tidak mempunyai banyak pengetahuan khusus. Kemungkinan besar jika beliau masih muda hari ini, logik... tidak akan menarik minatnya."

Penilaian ini menekankan keunikan pendekatan Skolem, keupayaannya untuk berinovasi, dan kebolehcapaian karyanya kepada khalayak yang lebih luas.

4.2. Kesan dan Warisan

Idea dan metodologi matematik Skolem mempunyai pengaruh yang mendalam terhadap perkembangan logik matematik dan teori set seterusnya. Karyanya dalam teori model, terutamanya teorem Löwenheim-Skolem dan paradoks Skolem, telah membentuk pemahaman asas tentang batasan sistem formal. Sumbangannya kepada finitisme dan teori kebolehkomputan melalui aritmetik rekursif primitif juga meletakkan asas bagi bidang sains komputer teori. Walaupun banyak karyanya pada mulanya diterbitkan dalam jurnal tempatan, kepentingannya diiktiraf secara beransur-ansur, dan ideanya kekal relevan dalam penyelidikan matematik moden.